初中幾何趣題：求套娃三角形的面積
如圖：三角形ABC三邊外接三個正方形EMBA、ACHN、BFGC（圖中綠色顯示），三個正方形再外接三個正方形LOFE、IMND、GJKH（圖中紫色顯示）。已知正方形LOFE的面積為2809，正方形GJKH面積為2704，正方形IMND面積為2601。求三角形ABC的面積
圖中的三角形ABC具有任意性，是一題有趣的套娃題目，三角形外面套了兩層正方形，已知最外圍正方形的面積，求最裡面的三角形面積。
如果你想思考一下，可以暫停滾屏，思考1分鐘後，再繼續。
解法一（代數法）：
為了方便表達，我們在圖上标了三角形ABC的三個角和三條邊。
把關注點先放到三角形MAN，我們注意到角MAN=180度-角a，運用餘弦定理可得：
，化簡得： 。。。。（式1）在三角形ABC中，運用餘弦定理可得：
。。。。（式2）由（式1）+（式2）得：
。。。。（式3）同理，可以得到： 。。。。（式4） 。。。。（式5）
由（式3）+（式4）+（式5）得到：
。。。。（式6）進而得到：
由于我們需要用正弦定理計算面積，因此從式2計算餘弦的值：
可得正弦值：
代數法的思路比較直接，但是就是計算量有點大。俗話說沒有什麼題目是一次硬算解決不了的，否則就兩次硬算。
解法二（面積法）：
我們放大一下三角形ABC的局部圖，由紫色正方形面積，容易得到邊長分别是51、52、53。
設圖中3個白色三角形的面積分别為：S1、S2、S3。
我們有
同理，我們可以計算出S1=S2=S3，均與三角形ABC面積相等。
而S1、S2、S3合并為一個大的三角形，剛好三邊長分别為51、52、53。
根據三角形面積海倫公式，可以得到新三角形的面積，進而得到三角形ABC的面積。
此處省略具體計算過程，有興趣的讀者可以自行補充。
解法三（幾何法）：
如果覺得以上方法都比較繁瑣，或者沒有學過三角函數，我們可以來一個純幾何的方法。
按以下方式做輔助線：
其中MZ//NZ，BW//CW，可見三角形MAN的面積，是四邊形MANZ面積的一半。三角形ABC的面積是四邊形BWCA面積的一半。
做兩個四邊形的高BA1和AV，通過角的計算，發現：
角ZMA+角MAN=180=角MAN+角BAC，所以，角ZMA=角BAC
因此三角形BAA1與三角形AMV全等，BA1=AV
四邊形MANZ與四邊形BWCA面積相等，進而三角形ABC的面積與三角形MAN相等。
剩下就跟方法二一樣，通過海倫公式就可以計算了。
有興趣的讀者，可以自行完成
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