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矩形内的一條垂線,引出了讓同學深思的問題,如何求對角線長度?

一道初中幾何題,矩形内的一條垂線,讓同學們陷入了深深的思索。

請看題目:矩形ABCD,兩條對角線AC和BD交于點M,

取CD上一點N,連接NM,使得NM⊥AC

已知三角形MCN面積為5,CN-AD=1

請問對角線BD的長度是多少?

BD為矩形對角線,所以如果知道了矩形的長和寬,那麼通過勾股定理就可以求得BD長度了。由于M為對角線交點,所以也是中點,那是否可以讓N也成為中點,延長CD,假如至點E,使得NE=CN,則NM就是三角形ACE的中位線了。三角形CNM和ACE相似,則面積之比為對應邊的平方比,即S△MCN/S△ACE=(MN/AE)²=1/4,而S△MCN=5,所以S△ACE=20,假如設AD=a, 則CN= a+1,CE=2(a+1),根據三角形面積公式 20=1/2*2(a+1)*a, 解方程即可求得矩形的寬AD的長度。而CD的長度,CN已經知道為a+1,所以求出DN即可,DN可以通過射影定理來求得,最後勾股定理就求出對角線長度了。

不知道大家是否還有更好的方法,歡迎分享!

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