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中考數學壓軸題分析：新定義與最值問題

本文内容選自2021年背景中考數學壓軸題。以平面直角坐标系為背景，考查旋轉、圓有關的位置問題以及線段最值等。

【中考真題】

（2021·北京）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半徑為1．對于點A和線段BC，給出如下定義：若将線段BC繞點A旋轉可以得到⊙O的弦B′C′（B′，C′分别是B，C的對應點），則稱線段BC是⊙O的以點A為中心的“關聯線段”．
（1）如圖，點的橫、縱坐标都是整數．在線段中，⊙O的以點A為中心的“關聯線段”是 　 　；
（2）△ABC是邊長為1的等邊三角形，點A（0，t），其中t≠0．若BC是⊙O的以點A為中心的“關聯線段”，求t的值；
（3）在△ABC中，AB＝1，AC＝2．若BC是⊙O的以點A為中心的“關聯線段”，直接寫出OA的最小值和最大值，以及相應的BC長．

【分析】

（1）根據已知條件中的新定義，進行逐一判斷。确定旋轉後是否可以落在圓上。

（2）由于是等邊三角形，且點A在y軸上，旋轉後AB′=AC′，可以得到AO垂直平分B′C′，就可以确定點B′與C′的位置了，進而确定t的值。

（3）本題屬于壓軸一問，有一定難度。不過根據新定義，可以得到四個點O、A、B′、C′組成的圖形的樣子。

點O到B′、C′的距離是相等為1，而點A到他們的距離也是确定的。根據四邊形的不穩定性，可以确定OA的最大值與最小值，畫出圖形，再求B′C′的長即可。

【答案】解：（1）由旋轉的旋轉可知：AB＝AB′，AC＝AC′，∠BAB′＝∠CAC′，
由圖可知點A到圓上一點的距離d的範圍為1≤d1，
∵，
∴點 不可能在圓上，
∴不是⊙O的以A為中心的“關聯線段”，
∵，
∴，
∴是⊙O的以A為中心的“關聯線段”，
∵，
當，
由圖可知此時不在圓上，
∴不是⊙O的以A為中心的“關聯線段”．
故答案為；．
（2）∵△ABC是邊長為1的等邊三角形，
根據旋轉的性質可知△AB′C′也是邊長為1的等邊三角形，
∵A（0，t），
∴B′C′⊥y軸，且B′C′＝1，
∴AO為B′C′邊上的高，且此高的長為，
∴t或．
（3）由旋轉的性質和“關聯線段”的定義，
可知AB′＝AB＝OB′＝OC′＝1，AC′＝AC＝2，如圖1，


利用四邊形的不穩定性可知，
當A，O，C′在同一直線上時，OA最小，最小值為1，如圖2，


此時OA＝OB′＝OC′，
∴∠AB′C＝90°，
∴B′C′．
當A，B′，O在同一直線上時，OA最大，如圖3，


此時OA＝2，過點A作AE⊥OC′于E，過點C′作C′F⊥OA于F．
∵AO＝AC′＝2，AE⊥OC′，
∴OE＝EC′，
∴AE，
∵·AO·C′F·OC′·AE，
∴C′F，
∴OF，
∴FB′＝OB′﹣OF，
∴B′C′．
綜上OA的最小值為1時，此時BC的長為，OA的最大值為2，此時BC的長為．

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