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專題練習：等腰三角形

專題練習：等腰三角形

基礎訓練

1．若一個等腰三角形的兩邊長分别為2和5，則它的周長為(A)

A. 12　　　　　　 B. 9

C. 12或9　　　　 D. 9或7

2．如果三角形滿足一個角是另一個角的3倍，那麼我們稱這個三角形為“智慧三角形”．下列各組數據中，能作為一個智慧三角形三邊長的一組是(D)

A. 1，2，3　 B. 1，1，

C. 1，1，　 D. 1，2，

3．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°，則頂角度數為(D)

A. 60°　　　 B. 120°

C. 60°或150°　　　 D. 60°或120°

4．下面給出的幾種三角形：①有兩個角為60°的三角形；②三個外角都相等的三角形；③一邊上的高也是這邊上的中線的等腰三角形；④有一個角為60°的等腰三角形．其中一定是等邊三角形的有(B)

A. 4個　　　 B. 3個

C. 2個　　　 D. 1個

(第5題圖)

5．如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，過點O作EF∥BC交AB于點E，交AC于點F，過點O作OD⊥AC于D，下列四個結論：

①EF＝BE＋CF；

②∠BOC＝90°＋∠A；

③點O到△ABC各邊的距離相等；

④設OD＝m，AE＋AF＝n，則S△AEF＝mn.

其中正确的結論是(　A　)

A. ①②③　　　　　　　　　 B. ①②④

C. ②③④　　　　　 D. ①③④

(第6題圖)

6．如圖，在△ABC中，D，E分别是AC，AB上的點，BD與CE交于點O.給出下列三個條件：①∠EBO＝∠DCO；②∠BEO＝∠CDO；③BE＝CD.上述三個條件中，哪兩個條件組合可判定△ABC是等腰三角形(用序号寫出一種情形)：①③或②③．

7．在△ABC中，AB＝2，BC＝1，∠ ABC＝45°，以AB為一邊作等腰直角三角形ABD，使∠ABD＝90°，連結CD，則線段CD的長為__或__．

(第8題圖)

8．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為CA延長線上一點，DE⊥BC，交線段AB于點F.請找出一組相等的線段(AB＝AC除外)并加以證明．

解：AD＝AF.證明如下：

∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.

∵DE⊥BC，

∴∠B＋∠BFE＝∠C＋∠D＝90°，

∴∠BFE＝∠D.

∵∠BFE＝∠DFA，

∴∠DFA＝∠D，

∴AF＝AD.

拓展提高

(第9題圖)

9．如圖，△ABC是等邊三角形，點P是∠ABC的平分線BD上一點，PE⊥AB于點E，線段BP的垂直平分線交BC于點F，垂足為Q.若BF＝2，則PE的長為(B)

A. 2　　 B.

C. 2　　 D. 3

10．已知等腰△ABC中，AD⊥BC于點D，且AD＝BC，則△ABC底角的度數為(D)

A. 45°　　 B. 75°

C. 60°　　 D. 45°或75°

11．在平面直角坐标系中，點A(，)，B(3，3)，動點C在x軸上，若以A，B，C三點為頂點的三角形是等腰三角形，則點C的個數為(B)

A. 2　　　　　　　 B. 3

C. 4　　　　　　　　 D. 5

12．如圖，等腰△ABC紙片(AB＝AC)可按圖中所示方法折成一個四邊形，點A與點B重合，點C與點D重合，則在原等腰△ABC中，∠B＝72度．

(第12題圖)

(第13題圖)

13．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC與∠DCB的平分線相交于點H，過H作AD的平分線交AB于E，交CD于F.若BE＝3，CF＝2，則EF＝__5__．

14．如圖，已知∠AOB＝α，在射線OA，OB上分别取點OA＝OB1，連結AB1，在B1A，B1B上分别取點A1，B2，使B1B2＝B1A1，連結A1B2，…，按此規律下去，記∠A1B1B2＝θ1，∠A2B2B3＝θ2，…，∠AnBnBn＋1＝θn，則：

(1)θ1＝；(2) θn＝．

,(第14題圖))

15．在如圖所示的鋼架中，焊上等長的13根鋼條來加固鋼架．若AP1＝P1P2＝P2P3＝…＝P13P14＝P14A，則∠A的度數是__12°__．

,(第15題圖))

16．如圖，∠BOC＝9°，點A在OB上，且OA＝1，按下列要求畫圖：

以點A為圓心，1為半徑向右畫弧交OC于點A1，得第1條線段AA1；

再以點A1為圓心，1為半徑向右畫弧交OB于點A2，得第2條線段A1A2；

再以點A2為圓心，1為半徑向右畫弧交OC于點A3，得第3條線段A2A3；

……

這樣畫下去，直到得第n條線段，之後就不能再畫出符合要求的線段了，則n＝__9__．

,(第16題圖))

17．如圖，已知點A(3，0)，B(0，4)，C為x軸上一點．

(1)畫出等腰三角形ABC.

(2)求出C點的坐标．

,(第17題圖))

解：(1)如解圖．

,(第17題圖解))

(2)①當A是頂點時，C1(－2，0)，C2(8，0)，

②當B是頂點時，C3(－3，0)

③當C是頂點時，C4.

(第18題圖)

18．如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，BE⊥AC，垂足為E，M為AB邊的中點，連結ME，MD，ED.

(1)求證：△MED為等腰三角形．

(2)求證：∠EMD＝2∠DAC.

解：(1)證明：∵M為AB邊的中點，AD⊥BC，BE⊥AC，

∴ME＝AB，MD＝AB，

∴ME＝MD，

∴△MED為等腰三角形．

(2)∵ME＝AB＝MA，

∴∠MAE＝∠MEA，

∴∠BME＝2∠MAE.

同理，MD＝AB＝MA，

∴∠MAD＝∠MDA，

∴∠BMD＝2∠MAD，

∴∠EMD＝∠BME－∠BMD＝2∠MAE－2∠MAD＝2∠DAC.

(第19題圖)

19．如圖，已知點D為等腰直角△ABC内一點，∠CAD＝∠CBD＝15°，E為AD延長線上的一點，且CE＝CA.

(1)求證：DE平分∠BDC.

(2)若點M在DE上，且DC＝DM，求證：ME＝BD.

解：(1)證明：∵△ABC為等腰Rt△，

∴AC＝BC，∠CAB＝∠CBA＝45°.

∵∠CAD＝∠CBD＝15°，

∴∠BAD＝∠ABD＝45°－15°＝30°，∴BD＝AD.

又∵CA＝CB，∴△BDC≌△ADC(SAS)．

∴∠DCA＝∠DCB.

又∵∠ACB＝90°，∴∠DCA＝∠DCB＝45°.

∵∠BDE＝∠ABD＋∠BAD＝30°＋30°＝60°，∠EDC＝∠DAC＋∠DCA＝15°＋45°＝60°，

∴∠BDM＝∠EDC.∴DE平分∠BDC.

(第19題圖解)

(2)如解圖，連結MC.

∵DC＝DM，且∠MDC＝60°，

∴△MDC是等邊三角形，

∴CM＝CD.

又∵∠EMC＝180°－∠DMC＝180°－60°＝120°，

∠ADC＝180°－∠MDC＝180°－60°＝120°，

∴∠EMC＝∠ADC.

又∵CE＝CA，∴∠DAC＝∠CEM＝15°.

∴△ADC≌△EMC(AAS)．∴ME＝AD＝BD.

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