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一道北京中考數學的大題,題型靈活,考察學生分析問題的能力

一道北京中考數學的大題,題型靈活,考察學生分析問題的能力 原創 2022-01-12 14:38 ·

現在中考題目越來越靈活,需要考生具有短時間内分析解決具體問題的能力。這是北京市中考數學的一道大題,題型靈活,難道不小。

如圖,在等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,P是線段BC上一動點(與點B、C不重合),連接AP,延長BC至點Q,使得CQ=CP,過點Q作QH⊥AP于點H,交AB于點M。

(1),若∠PAC=α,求∠AMQ的大小(用含α的式子表示);

(2),用等式表示線段MB與PQ之間的數量關系,并證明。

分析:考試中綜合題的第一問一般比較簡單,但結論往往會作為下一問的基礎。

本題第一位是送分題,∠AMQ=90°-∠HAM=90°-(45°-α)=45° α

比較難的是第二問,提問的方式也很靈活。怎麼思考?

要求的是MB和PQ的數量關系,現在PQ的1/2即PC已經在直角三角形中,自然想到将MB也通過三角形邊長的形式表達出來。

很明顯,通過點M作CB的垂線ME,那MB就等于√2ME。

這時很容易觀察到△ACP∽△QME(易知∠CAP=∠HQP)

但三角形相似還不夠,需要的是能夠全等。

如果能夠證明QM=AP,那△ACP和△QME就全等了。

這時就注意題目中有一個很重要的條件,就是QC=PC,馬上可以想到連接AQ,則很容易知道△APQ是等腰三角形,AP=AQ。

現在問題就變為在△AQM中,證明QM=QA。

這就用到問題1的結論,∠AMQ=45° α ,

而∠QAM=45° ∠QAC=45° ∠PAC=45° α。

所以有QA=QM,從而△ACP≌△QME,ME=CP

于是MB=√2ME=√2CP=√2/2QP,或者QP=√2MB。

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