【中考數學】一元二次方程的實際應用”經典題型剖析！
“一元二次方程”作為初中數學的重、難點，也是考試考查的重點對象。
很多同學會發現，“一元二次方程”的計算并不難，然而一旦它與實際問題結合起來，就無處下手，找不到等量關系，列不出方程式。
今天林老師就來和同學們一起探讨一下“一元二次方程的實際應用”問題。
對于實際應用題，最關鍵的一點在于認真閱讀題目，分析題意，并能分解題目，各個擊破，從而找到已知的條件和未知問題，必要時可以通過畫圖、列表等方法來幫助我們理順已知與未知之間的關系，找到一個或幾個相等的式子，從而列出方程求解，同時還要及時地檢驗答案的正确性并作答。
【例題】某商場銷售一批名牌襯衫，現在平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元，為了擴大銷售量，增加盈利，盡快減少庫存，商場決定采取适當的降價措施。經調查發現，如果這種襯衫的售價每降低 1 元，那麼襯衫平均每天多售出 2 件，商場若要平均每天盈利 1200 元，每件襯衫應降價多少元？ 【解析】假設每件襯衫應降價x元，現每件盈利為（40－x ）元，現每天銷售襯衫為（20+2x）件，根據等量關系：每件襯衫的利潤×銷售襯衫數量=銷售利潤，可列出方程。 解：設每件襯衫應降價x元，根據題意，得 （40- x）（20+2x）=1200 解得X 1=10，X 2=20。 因盡快減少庫存，故取x =20 答：每件應降價20元。
【例題】某人将 2000 元人民币按一年定期存入銀行，到期後支取 1000 元用于購物，剩下的 1000 元及應得利息又全部按一年定期存入銀行。若存款的利率不變，到期後本金和利息共 1320 元。求這種存款方式的年利率（本題不計利息稅）？ 【解析】假設這種存款方式的年利率為x，2000元存一年後本息和為2000（1+ x ）元，支取1000元後，還剩[2000（1+ x）－1000]元。将所剩[2000（1+ x）－1000]元再存入銀行一年，到期後本息共1320元。根據本息和=本金×（1+利率）等量關系可列出方程。 解：設這種存款方式的年利率為x。 根據題意得，[2000（1+ x）－1000]（1+ x）=1320 整理可得：2000x2+3000x－320=0 解得：x1=－1.6（舍去），x2=0.1=10% 答：這種存款方式的年利率為10%。
【例題 】如圖1-1所示，某小區規劃在一個“長為40m，寬為26m”的矩矩形場地ABCD上修建三條同樣寬的道路，使其中兩條與AB平行，另一條與AD平行，其餘部分種草。若使每一塊草坪的面積都是144m2，則道路的寬是多少米？ 【解析】（ 1 ）設路的寬為 x m ，那麼道路所在的面積（ 40x+26x × 2 － 2x 2 ） m 2 。那麼六塊草坪的面積為 [40 × 26 －（ 40x +26x × 2 － 2x 2 ） ]m 2 ，根據題意，得 40×26－（40x +26x×2－2x2）=144×6 （2）将圖1-1所示中的三條道路分别向上和向左、向右平移到圖1-2的位置，若設寬為xm，則草坪的總面積為（40-2x）（26－x）m2。所列方程為（40-2x）（26－x）=144×6 解法1：設道路的寬為xm，則根據題意，得40×26－（40x +26x×2－2x2）=144×6 整理，得x2－46x +88=0 解得x1=44（舍去），x 2=2 解法2：設道路的寬為x m，則根據題意，得（40-2x）（26－x）=144×6 解得x1=44（舍去），x 2=2 答：道路的寬是2米。
②勾股定理問題 【解題思路】勾股定理
【例題】如圖2- 1，兩隻螞蟻從A點出發，分别沿正北、正東方向爬，甲的速度為每分鐘6cm，乙的速度為每分鐘8cm。幾分鐘後，兩隻螞蟻相距20cm？ 【解析】假設 t 分鐘後相距 20cm ，那麼甲所爬的距離為 6tcm ，乙所爬的距離為 8tcm ，甲乙所爬的距離正好是兩個直角邊，相距 20cm 正好是兩直角邊所對的斜邊。此題可用勾股定理作等量關系列方程。 解：設t分鐘後，相距20cm。由題意得：（6t）2+（8t）2=202 整理，得100t2=400 解得t1=2，t2=－2（不合題意，舍去） 答：2分鐘後，兩隻螞蟻相距20cm。
【例題】某印刷廠元月份印刷課本30萬冊，第一季度共印了150萬冊，問2、3月份平均每月的增長率是多少？ 【解析】本題的關鍵是應用形如a（1+x）2=b形式的問題，但要注意不能盲目套公式，此題沒有直接給出增長後的數據，而是直接給出了第一季度印刷的總數量，所以使用的等量關系是：元月份印刷數量30萬冊+2月份印刷數量30（1+x）+3月份印刷數量30（1+x）2=150萬冊。 解：設2、3月份平均增長率為x ，則有： 30+30（1+x）+30（1+x）2=150 解得x1=3.56（舍去），x2=0.56=56% 答：2、3月份平均每月的增長率是56%。
【例題】如圖3-1所示，在△ABC中，∠B=90°，點P從A點開始沿AB向B點以1cm/s的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動。如果點P、Q分别從A、B同時出發，經過幾秒鐘，使△PQB的面積等于8cm2？ 【解析】設經過x秒鐘，點P在AB上移動後所剩的距離PB為（6－x）cm，點Q在BC上移動的距離 BQ為2x cm。因此，可根據三角形面積公式列方程來求解。 解：設經過x秒鐘，點P在AB上，點Q在BC上，且使△PBQ面積為8 cm2 根據題意，得 （6－x ）×2x×1/2=8 整理得：x2－6x+8=0 解得x1=2，x2=4 經過2秒鐘，點P在離A點1×2=2（cm）處；點Q在離B點2×2=4（cm）處。經過4秒鐘，點P在離A點1x4=4（cm）處，點Q在離B點2×4=8（cm）處，所以它們都符合要求。 答：如果點P、Q分别從A、B同時出發，經過2秒鐘或4秒鐘，△PQB的面積等于8cm2。
【例題】一個兩位數，十位數字與個位數字之和是5，把這個數的個位數字與十位數字對調後，所得的新的兩位數與原來的兩位數的乘積是736，求原來的兩位數？ 【解析】題中等量關系比較明顯，所以兩位數與原來的兩位數的乘積是736，正确列出方程的關鍵是熟練掌握用字母表示兩位數的方法。兩位數=（十位數字）×10+（個位數字）。 解：設原來兩位數的十位數字為x，則個位數字為（5－x ）。 根據題意，得[10x +（5－x ）][10（5－x）+ x ]=736 整理，得x2－5x +6=0 解得x1=2，x 2=3。 當x=2時，5－x =3符合題意，原來的兩位數是23； 當x=3時， 5－x=2符合題意，原來的兩位數是32。 答：原來的兩位數是23或32。 注意：用一元二次方程解決實際問題時，一定要檢驗所得的解是否符合實際意義，不合題意的解一定要舍去。
列方程解應用題實質是先把實際問題抽象為方程模型，然後通過解方程獲得對實際問題的解決。
列一元二次方程解應用題的關鍵是：找出未知量與已知量之間的聯系，從而将實際問題轉化為方程模型。同學們要善于将普通語言轉化為代數式，在審題時，要特别注意關鍵詞語，如“多少、快、慢、和、差、倍、分、超過、剩餘、增加、減少”等等。
此外，還要掌握一些常用的公式或特殊的等量關系，如特殊圖形的面積公式、行程問題、工程問題、增長率問題中的一些特殊關系等。 END
解題思路
對于實際應用題，最關鍵的一點在于認真閱讀題目，分析題意，并能分解題目，各個擊破，從而找到已知的條件和未知問題，必要時可以通過畫圖、列表等方法來幫助我們理順已知與未知之間的關系，找到一個或幾個相等的式子，從而列出方程求解，同時還要及時地檢驗答案的正确性并作答。
經典題型
題型一：利潤問題
【常用公式】【例題】某商場銷售一批名牌襯衫，現在平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元，為了擴大銷售量，增加盈利，盡快減少庫存，商場決定采取适當的降價措施。經調查發現，如果這種襯衫的售價每降低 1 元，那麼襯衫平均每天多售出 2 件，商場若要平均每天盈利 1200 元，每件襯衫應降價多少元？ 【解析】假設每件襯衫應降價x元，現每件盈利為（40－x ）元，現每天銷售襯衫為（20+2x）件，根據等量關系：每件襯衫的利潤×銷售襯衫數量=銷售利潤，可列出方程。 解：設每件襯衫應降價x元，根據題意，得 （40- x）（20+2x）=1200 解得X 1=10，X 2=20。 因盡快減少庫存，故取x =20 答：每件應降價20元。
題型二：利息問題
【常用公式】【例題】某人将 2000 元人民币按一年定期存入銀行，到期後支取 1000 元用于購物，剩下的 1000 元及應得利息又全部按一年定期存入銀行。若存款的利率不變，到期後本金和利息共 1320 元。求這種存款方式的年利率（本題不計利息稅）？ 【解析】假設這種存款方式的年利率為x，2000元存一年後本息和為2000（1+ x ）元，支取1000元後，還剩[2000（1+ x）－1000]元。将所剩[2000（1+ x）－1000]元再存入銀行一年，到期後本息共1320元。根據本息和=本金×（1+利率）等量關系可列出方程。 解：設這種存款方式的年利率為x。 根據題意得，[2000（1+ x）－1000]（1+ x）=1320 整理可得：2000x2+3000x－320=0 解得：x1=－1.6（舍去），x2=0.1=10% 答：這種存款方式的年利率為10%。
題型三：與幾何圖形的面積問題
①幾何圖形的面積問題 【等量關系】面積公式是此類問題的等量關系。【例題 】如圖1-1所示，某小區規劃在一個“長為40m，寬為26m”的矩矩形場地ABCD上修建三條同樣寬的道路，使其中兩條與AB平行，另一條與AD平行，其餘部分種草。若使每一塊草坪的面積都是144m2，則道路的寬是多少米？ 【解析】（ 1 ）設路的寬為 x m ，那麼道路所在的面積（ 40x+26x × 2 － 2x 2 ） m 2 。那麼六塊草坪的面積為 [40 × 26 －（ 40x +26x × 2 － 2x 2 ） ]m 2 ，根據題意，得 40×26－（40x +26x×2－2x2）=144×6 （2）将圖1-1所示中的三條道路分别向上和向左、向右平移到圖1-2的位置，若設寬為xm，則草坪的總面積為（40-2x）（26－x）m2。所列方程為（40-2x）（26－x）=144×6 解法1：設道路的寬為xm，則根據題意，得40×26－（40x +26x×2－2x2）=144×6 整理，得x2－46x +88=0 解得x1=44（舍去），x 2=2 解法2：設道路的寬為x m，則根據題意，得（40-2x）（26－x）=144×6 解得x1=44（舍去），x 2=2 答：道路的寬是2米。
②勾股定理問題 【解題思路】勾股定理
【例題】如圖2- 1，兩隻螞蟻從A點出發，分别沿正北、正東方向爬，甲的速度為每分鐘6cm，乙的速度為每分鐘8cm。幾分鐘後，兩隻螞蟻相距20cm？ 【解析】假設 t 分鐘後相距 20cm ，那麼甲所爬的距離為 6tcm ，乙所爬的距離為 8tcm ，甲乙所爬的距離正好是兩個直角邊，相距 20cm 正好是兩直角邊所對的斜邊。此題可用勾股定理作等量關系列方程。 解：設t分鐘後，相距20cm。由題意得：（6t）2+（8t）2=202 整理，得100t2=400 解得t1=2，t2=－2（不合題意，舍去） 答：2分鐘後，兩隻螞蟻相距20cm。
題型四：平均增長（降低）率問題
【解題思路】此類問題是在某個數據的基礎上連續增長（降低）兩次得到的新的數據。常見的等量關系是： a （ 1 ± x ） 2 =b 。其中 b 為增長（或降低）後的數量， a 為增長（或降低）前的基數， x 為增長率（降低率）。【例題】某印刷廠元月份印刷課本30萬冊，第一季度共印了150萬冊，問2、3月份平均每月的增長率是多少？ 【解析】本題的關鍵是應用形如a（1+x）2=b形式的問題，但要注意不能盲目套公式，此題沒有直接給出增長後的數據，而是直接給出了第一季度印刷的總數量，所以使用的等量關系是：元月份印刷數量30萬冊+2月份印刷數量30（1+x）+3月份印刷數量30（1+x）2=150萬冊。 解：設2、3月份平均增長率為x ，則有： 30+30（1+x）+30（1+x）2=150 解得x1=3.56（舍去），x2=0.56=56% 答：2、3月份平均每月的增長率是56%。
題型五：動點問題
【解題思路】此類問題是一般幾何題的延伸，要學會用運動的觀點看問題，根據條件設出未知數，想辦法把圖中變化的線段用未知數表示出來，再根據題中給出的等量關系（可以是圖形的面積、勾股定理等）列出方程。【例題】如圖3-1所示，在△ABC中，∠B=90°，點P從A點開始沿AB向B點以1cm/s的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動。如果點P、Q分别從A、B同時出發，經過幾秒鐘，使△PQB的面積等于8cm2？ 【解析】設經過x秒鐘，點P在AB上移動後所剩的距離PB為（6－x）cm，點Q在BC上移動的距離 BQ為2x cm。因此，可根據三角形面積公式列方程來求解。 解：設經過x秒鐘，點P在AB上，點Q在BC上，且使△PBQ面積為8 cm2 根據題意，得 （6－x ）×2x×1/2=8 整理得：x2－6x+8=0 解得x1=2，x2=4 經過2秒鐘，點P在離A點1×2=2（cm）處；點Q在離B點2×2=4（cm）處。經過4秒鐘，點P在離A點1x4=4（cm）處，點Q在離B點2×4=8（cm）處，所以它們都符合要求。 答：如果點P、Q分别從A、B同時出發，經過2秒鐘或4秒鐘，△PQB的面積等于8cm2。
題型六：數字問題
【解題思路】根據數字問題列方程，隻要根據題目中給出的相等關系列出方程即可，但要注意兩位數或三位數的表示方式。 兩位數=（十位數字）×10+（個位數字） 三位數=（百位數字）×100+（十位數字）×10+（個位數字）【例題】一個兩位數，十位數字與個位數字之和是5，把這個數的個位數字與十位數字對調後，所得的新的兩位數與原來的兩位數的乘積是736，求原來的兩位數？ 【解析】題中等量關系比較明顯，所以兩位數與原來的兩位數的乘積是736，正确列出方程的關鍵是熟練掌握用字母表示兩位數的方法。兩位數=（十位數字）×10+（個位數字）。 解：設原來兩位數的十位數字為x，則個位數字為（5－x ）。 根據題意，得[10x +（5－x ）][10（5－x）+ x ]=736 整理，得x2－5x +6=0 解得x1=2，x 2=3。 當x=2時，5－x =3符合題意，原來的兩位數是23； 當x=3時， 5－x=2符合題意，原來的兩位數是32。 答：原來的兩位數是23或32。 注意：用一元二次方程解決實際問題時，一定要檢驗所得的解是否符合實際意義，不合題意的解一定要舍去。
答題技巧
列方程解應用題實質是先把實際問題抽象為方程模型，然後通過解方程獲得對實際問題的解決。
列一元二次方程解應用題的關鍵是：找出未知量與已知量之間的聯系，從而将實際問題轉化為方程模型。同學們要善于将普通語言轉化為代數式，在審題時，要特别注意關鍵詞語，如“多少、快、慢、和、差、倍、分、超過、剩餘、增加、減少”等等。
此外，還要掌握一些常用的公式或特殊的等量關系，如特殊圖形的面積公式、行程問題、工程問題、增長率問題中的一些特殊關系等。 END
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