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用最簡單的方式解釋黎曼猜想（一），理解素數定理

用最簡單的方式解釋黎曼猜想（一），理解素數定理 要想理解黎曼猜想，我們首先要了解質數定理（素數定理）。在數學中，素數定理（PNT）描述了正整數中素數的漸近分布。它通過精确量化質數出現的速率，形成了數越大，質數就越不常見這一直觀觀點。該定理在1896年由雅克·阿達馬等人用黎曼zeta函數（ ζ函數）證明。 小于給定數的質數有多少個？ 取一個正整數，我以28為例。什麼 數 能整除它？答案是：1、2、4、7、14、28。這些是28的因數（因子）。我們說，28有6個因數。不難得出，每個數都有1和自身作為因數，除1和自身以外的因子叫作真因數，如28的真因數是2、4、7、14。而29沒有真因數。質數就是那些沒有真因數的正整數。 下面是1到1000的質數： 用最簡單的方式解釋黎曼猜想（一），理解素數定理 如你所見，總共有168 個 。如果你仔細觀察這個質數列表，你會發現它們出現的頻率越來越低。在1到100之間有25個質數；401到500之間有17個；901到1000隻有14個。在任何由100個整數組成的區間中，質數的數量似乎都在減少。如果我們列出所有小于100萬的質數，你會看到在最後的100個整數中（即從999901到100萬）隻有8個質數。如果繼續擴大到1萬億，那麼最後100整數中隻有4個質數（它們是：999,999,999,937；999,999,999,959；999,999,999,961和 999,999,999,989）。 質數有多少個？ 問題自然就出現了，如果繼續下去，最終會不會達到一個點，超過這個點就沒有質數了，那麼就會存在一個最大質數？ 歐幾裡得在公元前300年左右找到了這個問題的答案。沒有最大的質數。無論你找到多大的質數，總是能找到更大的質數。有很多方法能證明“質數有無窮多個”，網上都能找到，不在這裡給出。 接下來數學家們自然好奇的是：我們能确定質數的（增長）規律（分布）嗎？小于100的質數有25個，而小于1000的質數是168（而不是250），質數不是均勻分布的，而是越來越“稀薄”。但為什麼是168年？為什麼不是158或178，或其他數字？有沒有一個規則，一個公式，告訴我小于給定整數的質數有多少個？ 用最簡單的方式解釋黎曼猜想（一），理解素數定理
  • 表1，素數計數函數
像上表這樣的兩列是一種函數的表示。 “函數”是數學中最重要的概念之一。函數的主要思想是，根據某種固定的規則或過程，某個數字（右邊一列中的數字）取決于另一個數字（左邊一列中的數字）。在上表中，規則是：“數到左邊一列的數字為止，共有多少個素數。” 另一種說法是：函數是一種轉化方式（數學家說“映射”），即把一個數字變成另一個數字。上表中的函數将數字1000轉化為數字168——同樣，通過某種确定的規則。 重要的函數都是有名稱的，上表表示的函數是“素數計數函數”，符号為 π (N)。這裡的π是歐拉首先使用的，與圓周率毫無關系。 所以π (N)被定義為到N為止的質數的個數。回到我們的主要問題：是否有一些規則，一些簡潔的公式，可以讓我們計算出π（N）？ 下面我們用N/π（N），得到下表： 用最簡單的方式解釋黎曼猜想（一），理解素數定理
  • 表2
仔細表2：右邊一列，似乎是一個以7為“公差”的等差數列。這可能不會讓你覺得很奇妙，但當一個數學家看到這樣的表時，他的腦海中就會閃現出一個特别的詞。讓我解釋一下。 有一類函數在數學中非常重要，那就是指數函數。你很可能對他們有所了解。“指數”這個詞已經從數學中“跑到”了日常語言中。我們都希望我們的财富呈指數增長，也就是說，越來越快。 用最簡單的方式解釋黎曼猜想（一），理解素數定理
  • 表3，指數函數的一個例子。
表三是一個指數函數，自變量通過“加法”增加，函數值則以“乘法”增加。在衆多指數函數中，數學家最喜歡的一個可能是： 用最簡單的方式解釋黎曼猜想（一），理解素數定理
  • 表4
我不能在不涉及微積分的情況下解釋e的重要性，但我的目的是用最簡單的方式來解釋黎曼猜想。因此，我隻能告訴你e是一個非常非常重要的數字，沒有其他 指數 函數能比得上這個函數。 相反的情況呢？假設有這麼一個函數，它的規則是：當參數（自變量）通過乘法增加時，函數值通過加法增加，這是什麼函數呢？ 這裡我們已經進入了逆函數的領域。數學家們非常熱衷于求逆——把它們颠倒過來。如果y是8乘以x，x怎麼用y表示？除法是乘法的逆運算。一種叫作“平方”的運算，就是把一個數和自己相乘，它的逆運算是什麼？如果y = x^2，用y表示，x等于多少？它是y的平方根。如果你懂一點微積分，你就會知道有一個過程叫作“微分”，你可以用它來把一個函數f轉換成另一個函數g，它會告訴你f在任意參數下的瞬時變化率。 在與黎曼假設相關的數學中，對數函數無處不在。我在後面的文章詳細介紹。現在，你隻要知道它是一個非常重要的函數，并且如果y = e^x，則x = logy。 我将直接切入正題，向你們展示對數函數。當将函數表示為表格的形式時，我可以選擇參數和小數點的位數。 用最簡單的方式解釋黎曼猜想（一），理解素數定理
  • 表5，對數函數
下面的表述似乎是合理的：N / π (N)接近于log N；N越大，越接近。以一般的代數規則表述是： 用最簡單的方式解釋黎曼猜想（一），理解素數定理 當然，我還沒有證明這個（結論），我隻是說它是可能的。這是一個非常重要的結論，被稱為“素數定理（the Prime Number Theorem，PNT）”。 最後是PNT的兩個結果，假設它是真的。
  • N是素數的概率是：
用最簡單的方式解釋黎曼猜想（一），理解素數定理
  • 第n個素數是：
用最簡單的方式解釋黎曼猜想（一），理解素數定理 接下來，我們将繼續深入……

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