一道關于多項式的計算題
做一道有關多項式的問題。
問題:一個首項系數為1的四次多項式f(x), 滿足f(1)=10, f(2)=20和f(3)=30. 求f(12)+f(−8).
解:因為f(x)為一個四次多項式,令f(x)=0, 則有:
f(1)=10,
f(2)=20
f(3)=30.
即有:
f(1)-10x1=0 (x-1)
f(2)-10x2=0 (x=2)
f(2)-10x3=0 (x=3)
這說明多項式f(x)-10x作為另一個4次多項式,它是能夠整除因子(x-1)(x-2)(x-3), 由于最高次項系數為1,所以可以寫成:
f(x)-10x=(x-1)(x-2)(x-3)(x-c), 其中c是個待定的值,是個中間過渡值。
将x=12, x=-8帶入f(x)-10x=(x-1)(x-2)(x-3)(x-c)中有:
f(12)-120=11x10x9(12-c) (1)
f(-8)+80=(-9)x(-10)x(-11)(-8-c) (2)
.将(1)和(2)式左右相加後則可以消掉c, 從而有:
f(12)+f(−8)=11⋅10⋅9⋅(12−c)+120+(−9)(−10)(−11)(−8−c)−80=19840.
這道題如果用待定系數法去求,好像是求不出的, 因為那樣的話對于像下面這樣的函數:
F(x)=x4+ax3+bx2+cx+d, 共有四個待确定的數a、b、c和d, 而隻能列出三個方程,雖然能夠用d來表達a、b、c和d, 但帶入F(x)顯然是存在大量的計算,這是不現實的。所以示例的解法還是比較巧妙。其方法是構造了一個函數,比如g(x)=f(x)-10x, 讓x=1, 2., 3是其根, 那麼就會有f(x)-10x=(x-1)(x-2)(x-3)(x-c), 讀者要想了解為什麼是這樣,可點擊本人寫的另一篇文章。
有話要說...