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一道多項式的運算,巧用餘數定理

一道關于多項式的計算題

做一道有關多項式的問題。

問題:一個首項系數為1的四次多項式f(x), 滿足f(1)=10, f(2)=20和f(3)=30. 求f(12)+f(−8).

解:因為f(x)為一個四次多項式,令f(x)=0, 則有:

f(1)=10,

f(2)=20

f(3)=30.

即有:

f(1)-10x1=0 (x-1)

f(2)-10x2=0 (x=2)

f(2)-10x3=0 (x=3)

這說明多項式f(x)-10x作為另一個4次多項式,它是能夠整除因子(x-1)(x-2)(x-3), 由于最高次項系數為1,所以可以寫成:

f(x)-10x=(x-1)(x-2)(x-3)(x-c), 其中c是個待定的值,是個中間過渡值。

将x=12, x=-8帶入f(x)-10x=(x-1)(x-2)(x-3)(x-c)中有:

f(12)-120=11x10x9(12-c) (1)

f(-8)+80=(-9)x(-10)x(-11)(-8-c) (2)

.将(1)和(2)式左右相加後則可以消掉c, 從而有:

f(12)+f(−8)=11⋅10⋅9⋅(12−c)+120+(−9)(−10)(−11)(−8−c)−80=19840.

這道題如果用待定系數法去求,好像是求不出的, 因為那樣的話對于像下面這樣的函數:

F(x)=x4+ax3+bx2+cx+d, 共有四個待确定的數a、b、c和d, 而隻能列出三個方程,雖然能夠用d來表達a、b、c和d, 但帶入F(x)顯然是存在大量的計算,這是不現實的。所以示例的解法還是比較巧妙。其方法是構造了一個函數,比如g(x)=f(x)-10x, 讓x=1, 2., 3是其根, 那麼就會有f(x)-10x=(x-1)(x-2)(x-3)(x-c), 讀者要想了解為什麼是這樣,可點擊本人寫的另一篇文章。

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