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高中數學思維的嚴密性訓練之有關概念的訓練

一、概述

在中學數學中,思維的嚴密性表現為思維過程服從于嚴格的邏輯規則,考察問題時嚴格、準确,進行運算和推理時精确無誤。數學是一門具有高度抽象性和精密邏輯性的科學,論證的嚴密性是數學的根本特點之一。但是,由于認知水平和心裡特征等因素的影響,中學生的思維過程常常出現不嚴密現象,主要表現在以下幾個方面:

概念模糊 概念是數學理論體系中十分重要的組成部分。它是構成判斷、推理的要素。因此必須弄清概念,搞清概念的内涵和外延,為判斷和推理奠定基礎。概念不清就容易陷入思維混亂,産生錯誤。

判斷錯誤 判斷是對思維對象的性質、關系、狀态、存在等情況有所斷定的一種思維形式。數學中的判斷通常稱為命題。在數學中,如果概念不清,很容易導緻判斷錯誤。

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推理錯誤 推理是運用已知判斷推導出新的判斷的思維形式。它是判斷和判斷的聯合。任何一個論證都是由推理來實現的,推理出錯,說明思維不嚴密。

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有關概念的訓練

概念是抽象思維的基礎,數學推理離不開概念。“正确理解數學概念是掌握數學基礎知識的前提。”《中學數學教學大綱》(試行草案)

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錯誤分析 此處解法共有三處錯誤:

第一,設所求直線為y=kx+1時,沒有考慮k=0與斜率不存在的情形,實際上就是承認了該直線的斜率是存在的,且不為零,這是不嚴密的。

第二,題中要求直線與抛物線隻有一個交點,它包含相交和相切兩種情況,而上述解法沒有考慮相切的情況,隻考慮相交的情況。原因是對于直線與抛物線“相切”和“隻有一個交點”的關系理解不透。

第三,将直線方程與抛物線方程聯立後得一個一元二次方程,要考慮它的判别式,所以它的二次項系數不能為零,即k不等于0,而上述解法沒作考慮,表現出思維不嚴密。

請看正确解法:

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