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高中數學思維的嚴密性訓練之判斷的訓練

判斷的訓練

造成判斷錯誤的原因很多,我們在學習中,應重視如下幾個方面。

①注意定理、公式成立的條件

數學上的定理和公式都是在一定條件下成立的。如果忽視了成立的條件,解題中難免出現錯誤。

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錯誤分析 實數集合是複數集合的真子集,所以在實數範圍内成立的公式、定理,在複數範圍内不一定成立,必須經過嚴格推廣後方可使用。一元二次方程根的判别式是對實系數一元二次方程而言的,而此題目盲目地把它推廣到複系數一元二次方程中,造成解法錯誤。

正确解法:

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錯解分析 這兩個解法都是誤認為雙曲線的中心在原點,而題中并沒有告訴中心在原點這個條件。由于判斷錯誤,而造成解法錯誤。随意增加、遺漏題設條件,都會産生錯誤解法。

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②注意充分條件、必要條件和充分必要條件在解題中的運用

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錯誤分析 本題隻考慮了所求軌迹的純粹性(即所求的軌迹上的點都滿足條件),而沒有考慮所求軌迹的完備性(即滿足條件的點都在所求的軌迹上)。事實上,符合題目條件的點的坐标并不都滿足所求的方程。從動圓與已知圓内切,可以發現以x軸正半軸上任一點為圓心,此點到原點的距離為半徑(不等于3)的圓也符合條件,

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③防止以偏概全的錯誤

以偏概全是指思考不全面,遺漏特殊情況,緻使解答不完全,不能給出問題的全部答案,從而表現出思維的不嚴密性。

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正确解法

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說明 此題為1996年全國高考文史類數學試題第(21)題,不少考生的解法同錯誤解法,根據評分标準而痛失2分。

④避免直觀代替論證

我們知道直觀圖形常常為我們解題帶來方便。但是,如果完全以圖形的直觀聯系為依據來進行推理,這就會使思維出現不嚴密現象。

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正确解法:

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