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初中數學：淺談“折疊問題”的教學策略

淺談“折疊問題”的教學策略

“折疊”作為圖形的運動形式，題型多樣，變換靈活，且多以其為主要載體綜合其他幾何圖形知識進行考察．因圖形及其關系多變，又融合較多數學知識，成為學生的學習難點．學生在考試過程中解有關“折疊”的問題，不能隻靠動手操作來解決，需要透過現象想象折疊問題的本質，才能迅速找到破解折疊問題的方法．那麼折疊的本質是什麼呢？常見的折疊都有哪些類型呢？在初中數學中有哪些常見的折疊問題和解決策略呢？

一、折疊問題的類型

1

點與點重合的折疊

如圖1，長方形紙片AB∞，将長方形紙片按如圖所示的方式折疊，使點D與點B重合，折痕為EF.

點與點重合的折疊中伴随哪些數學知識呢？當點D與點B重合，那麼折痕為朋即為線段加的垂直平分線，進一步可以根據線段垂直平分線的性質（線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等）得到對應相等的線段．

2

邊與邊重合的折疊

如圖2，在三角形紙片ABC中，∠ACB= 900，如果在AC邊上取一點E，以BE為折痕，使AB的一部分與BC重合一，A與BC延長線上的點D重合．

 邊與邊重合的折疊中伴随哪些知識呢？結合上述折疊來認識一下，當邊AB的一部分與邊BC重合時，此時AB與AD重合，那麼折痕為BE即為線段AD的垂直平分線，同時BE也是∠ABD的平分線，除了根據線段垂直平分線的性質（線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等）得到對應相等的線段以外，還可以根據角平分線的性質（角平分線上的點到角的兩邊的距離相等）得到對應相等的線段．

3

按指定折痕的折疊

如圖3，四邊形ABCD是長方形，把△ACD沿AC折疊到△ACD'，AD'與BC交于點E．

按指定折痕的折疊中伴随哪些數學的知識呢？結合上述折疊再來認識一下，當折痕為AC時，可以根據線段垂直平分線的性質（線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等）得到對應相等的線段，也可以根據角平分線的性質（角平分線上的點到角的兩邊的距離相等）得到對應相等的線段．

二、折疊問題的本質

不論是上述哪種折疊，結合上述折疊的過程，我們可以看出圖形在折疊前位置的圖形與折疊後位置的圖形是全等形．那麼折疊問題的本質是什麼呢？我們不難發現：折疊問題本質是圖形的軸對稱變換，所以在解決折疊問題時可以充分運用軸對稱的思想和軸對稱的性質（如果兩個圖形關于某條直線對稱，那麼對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線；

軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應點所連線段的垂真平分線）來分析問題和解決問題

三、常見的折疊問題和解決策略

首先，不論哪種折疊類型，都要觀察圖形，找出圖形折疊前位置和折疊後位置的圖形（全等形）的位置的變化，認真體會位置變化後帶來的意義，再根據圖形的具體情況找出折痕的數學意義，也就是折痕平分了哪些角？折痕垂直平分哪些線段？

其次，根據具體折疊情況結和相應的其他知識進行分析和解題．

1.

折疊出現的等腰三角形問題.

例1 已知：如圖4，長方形紙片ABCD，将長方形紙片按如圖所示的方式折疊，使點D與點B重合，折痕為EF.△BEF是等腰三角形

嗎？若是，請說明理由。

解決策略：“角平分線+平行線伴随着等腰三角形的出現”是常見的數學活動經驗之一．通過觀察圖形折疊前位置和折疊後位置的圖形，可以發現屬于點與點重合的折疊，折

痕EF是∠DEB的平分線，也就∠DEF=∠BEF

，根據矩形的性質又可以得到∠DEF=∠BEF

，進一步得到∠BEF=∠BFE，也就得到了BE=BF，所以△BEF是等腰三角形．

2.

折疊後構成直角三角形問題

例2已知：如圖5，長方形紙片ABCD，将長方形紙片按如圖所示的方式折疊，使點D與點B重合，折痕為EF．若AB=4，AD=8，求BE的長．

解決策略：“運用勾股定理列方程求解”是常見的數學活動經驗之一．運用勾股定理列就要存在直角三角形，在折疊過程中我們觀察圖形折疊前位置和折疊後位置的圖形屬于點與點重合的折疊，可以發現DE=BE，也可以看成是線段AD沿着點E彎折後到BE的位置上，這樣一來AB,AE,BE構成一個直角三角形，而AB=4，AE+BE=8，這時可以設BE的長為x，則AE的長為8-x，根據勾股定理可以列出

方程，42+(8-x)2=x2，解方程可以得出x=5．

練習1：如圖6，在三角形紙片ABC中，∠ACB=900，BC=6，AB=10，如果在AC邊上取一點E，以BE為折痕，使AB的一部分與BC重合，A與BC延長線上的點D重合，那麼CE的長為    。

練習2：如圖7所示，四邊形ABCD是長方形，把△ACD沿AC折疊到△ACD'，AD'與BC交于點E，若AD=4，DC=3，求BE的長

不難發現上面的練習1屬于邊與邊重合的折疊，練習2屬于按指定折痕的折疊，練習1和練習2都是折疊後構成直角三角形運用勾股定理列方程求解，在折疊過程中隻須觀察圖形折疊前位置和折疊後位置的圖形，就可以找出直角三角形列出方程求解．

例3如圖8，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，點E為BC的中點，将△ABE沿AC折疊到△AFE，使點F在矩形内，連接CF，求CF的長．

解決策略：運用勾股定理列方程融合三角形中位線等其他知識．在折疊過程中我們觀察圖形折疊前位置和折疊後位置的圖形屬于按指定折痕的折疊，可以發現AE垂直平分BF，連接BF（如圖9），由點G為BF的中點，點E為BC的中點，可知GE為△BFC的中位線．求CF的長，隻要求出BG或FG的長就可以求出CF的長．在Rt△ABE中，∠ABE=900，AB=4，BE=3，可得AE=3．根據面積法可求BG=2.4，所以CF=2BG= 4.8．

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