實例解讀：中考數學壓軸突破的必備能力

突破中考數學壓軸的信心，來自你的膽量，來自你的“細節意識”與“大局”觀：膽大心細，從容面對，信心油然而生，源源不斷． 膽大： 不“迷信”壓軸題可怕． 心細： 不放過題中任何一個細節． 培養路徑： 細節意識與大局理念. 最大障礙：' 構圖'和' 含參計算'．(具體表現在：畫不出或畫不完整符合條件的圖（象），算不下去或不敢算) 訓練建議 （一）'構圖'訓練： 1．充分感受與體會'基本圖形'的重要性，利用基本圖形的動态變化（平移、旋轉、對稱），放開想象，放開思路，培養“敢于聯想，善于聯想“的能力．以數學中的各種'語言'（圖形語言、符号語言、文字語言）描述'聯想'． 2．充分利用三角闆、圓規進行'動态畫圖'操作演練（如：平移——不同方向平移、對稱（折）——改變對稱軸、旋轉——改變不同角度）． 訓練時，應從特殊的三角形或四邊形開始，到一般的三角形或四邊形．在訓練中，務必注意'動中有靜'的畫圖能力的訓練． 如：利用手中的三角闆在不同位置下快速畫出各種變換的圖（特殊位置的圖），借助觀察得到的結論再大膽展開想象：在不同特殊位置時，圖形中的各個點、線、形等産生如何的變化？或者在何位置時，圖形中的點、線、形有特殊的關系？ 3．利用已練過或現有的試題隐去相關的點線，或将之拓展延伸，進行實戰演練． 如：在使用中考真題或質檢題時，故意不給圖，或隻給出一個最基本的圖讓學生進行訓練．訓練時，盡量做到：定時定量；畫出在不同可能情況下的圖；思考在“動态“情景下畫圖；找出其中的基本圖形（定理所蘊含的圖形）；分别在不同的背景下可得到哪些異同的結論． 4．在畫圖中體會圖形的動态變化，可将中考中常見的圖形和圖解思路進行歸納，展示（畫闆展示效果最好），無需多長時間，優生自會潛移默化．不論上課，還是課外，總有意無意與一些重要的圖“扯”上關系，如：讓優生畫好後的圖放在自己固定的常“出沒”的地方，常與之“糾纏不清”，使之結下“不解之緣”． （二）'含參計算'訓練： 可以利用已練過的方程（組）或不等式（組）中的某個或兩個的已知系數改為“字母系數”進行“含參計算“訓練．如：可用課本中（或已經練習過）的方程（組）、不等式（組），将其中的一個或幾個已知常數換成字母系數或關于字母系數的代數式，進行強化并感知訓練（如：解關于字母系數的方程、方程組、不等式、不等式組）．如字母系數可以為x 1．y 1或m 2-m或m+1/m等．又如：将方程（組）轉換成含參的函數，進行與“函數交點“、”增減性“相關的試題訓練. 切不可忽視的能力： '讀題' 逐字逐句的讀，以“圖（象）”形式展示你的閱讀成果．切忌泛讀，務必慢咬細嚼，不可快速讀完，更不能把整題讀完，如若這樣等同于将後面的煩惱提前（明天的煩惱留着明天吧），勢必會産生雜念，一心不能二用，會将難題人為的“擴大化”，并産生新的“障礙”：本來就能順利完成的某些内容（得一定的分數），被這麼一讀，因顧慮到後面難的不好理解的内容反而喪失信心。 如果題中有圖，則可以将已有的圖作為“樣本模闆“，重新構圖，如果題中沒圖，那就更應該構圖，但需注意：是構圖，并非草率無根據無目的的畫圖．構圖過程中的”收益“定會不少，在構圖中結合後面即将說明的 “聯想”，往往已經在不知不覺中解決了問題． 如果你用“圖”表達試題内容時，遇到無法确定的點、線、形時，哈哈哈，這就對了，那多數就是動态的基本圖形哦，你已經想到了這是動态的——第一關難度．此時你要做的是：将這些無法确定的點、線、形分别畫出不同的特殊位置（或者特殊再特殊，如：點P是△ABC所在的平面的點，在畫圖時，你可以畫在△ABC的外心處，可以畫在△ABC的邊上，甚至可以畫在和△ABC的頂點上），再畫一般的情形，注意可分開畫圖．永遠記住，幾何和函數的多數問題往往是：特殊情況下的解題思路和結論，在一般情況下也同樣适用．更何況你已經将各種情況的圖表達清楚了，就不不擔心漏掉答案． 在構圖過程中，務必多留個“心眼“，如：點P在邊AB上，畫的時候需注意，也許點P畫在邊AB中點的左邊或右邊或就在中點上，得到的答案就會有所不同，往往多個答案由此而生．也許當畫在特殊點位置時，就已經找到了解決問題的一般思路和方法（從特殊到一般的重要數學思想正是如此哦！） 最需提升的能力：'聯想與猜想' 一個點，一條線、一個基本圖形、一個特殊角或特殊圖形，想到了什麼？一個熟悉的條件你又想到了什麼？一個“怪異“的條件又想到了什麼？條件與圖結合起來，又想到了什麼？哪些圖形與條件，是一而再再而三與見過的，訓練過的，甚至是讨厭過的，或者遺憾過的？一個你非常容易得到的結論，能想到什麼樣的更一般的結論，更深層次的結論？ 如：你已畫了一個三角形，此時可做如下思考：這個三角形是特殊的三角形嗎？特殊在哪？這個三角形已有什麼條件？能從這些條件得到什麼結論（趕緊标注上）？這些條件能影響三角形的什麼元素？這個三角形是确定的嗎？即這個三角形是否可解（能具體求解出什麼結論）？這個圖形在什麼樣的背景下？這個三角形是靜的，還是動的？如果是動的，特殊情況下又是如何？在這個圖形中，你能想到哪些定理？由這些定理你能得到什麼結論？如果添加一條或幾條線，通過相關組合，你能發現哪些最常見的基本圖形？從這些基本圖形中你又能得到什麼最基本且重要的結論？……（放心，總會有你所能想到的？也許不全面甚至很少，但定會在後續的解題中用的上，即便還是沒有思路，你将這些結論寫上，也可得到一定的分數。（倘若你還沒能解決，其實僅是因為某一點或結論還沒想到而已）．這一步非常有效且實用，也許你在不知不覺中已經解決了第（1）（2）小題． 記住：即便是亂想，甚至空想，也定有收獲，就怕不想不碰，就怕不敢多看一眼．更何況你或多或少總會想到一些有用的結論． 必需具備的能力：敢于疏理歸納，做到： 能思會想 ． 能思：即“知己知彼”，将已知與未知結合圖形進行多向聯系：如圖形上位置、數量的聯系、與特殊的點（角）、線、形進行聯系（如有無特殊角），尤其也特殊的基本圖形（定理的原形圖）的聯系，若有困難，也可大膽猜想，甚至可以借助三角闆和刻度尺進行特殊化和度量操作等，以此來幫助思考． 會想：利用已畫的圖形和現有的結論大膽聯想．如：聯想到這個圖形是否似曾相識？聯想到圖中有什麼定理或基本圖形可用？回憶一下平時老師常說哪些語言？回憶平時訓練時遇到此類問題是如何解決？回憶平時有哪些辦法可以打開思路？聯想到類似問題通常用哪些辦法？正如前面所說的，放開心懷，總有你能聯想到的？哪怕隻是那麼一點？都不可放過，太多奇迹就是這麼産生的？往往在你的這些聯想中，問題已經解決過半，甚至完全迎刃而解．即便還是沒有頭緒，還請你放心，你不會做無用功，你将之最有用的結論寫在試卷中，相信也定會得到一定的分數，因為你隻是沒有完全想到，就“差那麼一點”沒想到而已，同樣可以得高分，何樂而不為？　　　　　　　　 有效突破路徑： （1）邊畫圖邊思考（尤其是相關結論和常用輔助線、方法和結論）記住：千萬不可将題目先讀完！（沒必要将後面的“煩惱”提前） （2）圖（常用的輔助線趕緊添上，能得到多少結論标上） （3）還是圖（有可能幾種情形要先畫出） （4）仍然是圖（特殊情況如何處理，一般情況幾乎也是如此） （5）還是圖哦！（看到這些圖，你想到了什麼？不就是“三角（函數）、相似、勾股嗎？”、不就是“平移、旋轉、對稱嗎？”、“那些常見的基本圖形能幫上忙嗎？） （6）最後别忘了： ①“代數方法——方程思想”：一個字母不夠，兩個已經足矣！ ②函數常見思路：“設”、“求”、“代”. ③“平移、旋轉、對稱”幾乎能幫你解決所有問題哦！（充分利用三角闆幫你“平移、旋轉、對稱”） 強調一：

強調二： 不“迷信”壓軸題真的那麼可怕．膽有多大，成功就有多大； 心有多細，得分就有多高；膽大心細，成就成功和高分．相信自己：我行，肯定行！
下面以實例分析形式，旨在為考生在解答幾何壓軸時提供一點思路和技巧．

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案例1：純幾何綜合 【例】如圖1-1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E為AC邊的一點，F為AB邊上一點，連接CF，交BE于點D，且∠ACF=∠CBE，CG平分∠ACB交BD于點G． （1）求證：CF=BG； （3）在（2）問的條件下，當∠GAC=2∠FCH時，如圖1-3，若BG=6，（或S△AEG=3√3），求AC的長．

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題幹解讀：

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原文 ： 如圖1-1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，……

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圖解題意：

直角、45°，等腰、對稱
發揮想象： 背景為等腰直角三角形——“等腰”與“直角”的衆多重要結論——對稱、旋轉（具備直接旋轉的條件）——與正方形相關——特殊角（45°）——倍角為直角——“三線合一”……

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原文 ：如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC， E為AC邊的一點，F為AB邊上一點， ……
圖解題意：

發揮想象：點E、F可看作動點，兩動點此時可看作各自邊上的“自由動點”（即無互相牽制），尚未有所聯系．“動中有靜”——常設元，通過“方程”解決（方程思想）．

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原文 ：如圖1-1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E為AC邊的一點，F為AB邊上一點，連接CF，交BE于點D， 連接CF，交BE于點D， ……
圖解題意：

發揮想象：點E、F可看作動點，兩動點此時可看看作各自邊上的“自由動點”，尚未有所聯系．“動中有靜”——常設元，通過“方程”解決（方程思想）．

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原文 ：如圖1-1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E為AC邊的一點，F為AB邊上一點，連接CF，交BE于點D， 且∠ACF=∠CBE， ……．
圖解題意：

發揮想象：結合上述已有條件，得：

“一邊一角”相等——全等；
一角相等+再證一角相等——相似．

上圖中的基本圖形——“Rt△BCE的斜邊上的高”——非常豐富的結論．

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原文 ：如圖1-1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E為AC邊的一點，F為AB邊上一點，連接CF，交BE于點D，且∠ACF=∠CBE， CG平分∠ACB交BD于點G．……
圖解題意：

發揮想象：
與角平分線相關的思路如下：結合45°和90°的特殊角，便有更多的結論和思考空間．

至此，已經将試題的題幹部分圖解并精析完成，此時實際上已經得到了較多與本題有關的結論和思路． 第1小題 原文 ：如圖1-1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E為AC邊的一點，F為AB邊上一點，連接CF，交BE于點D，且∠ACF=∠CBE，CG平分∠ACB交BD于點G． （1）求證：CF=BG；…… 圖解精析： 思路1

思路2

發揮想象（見下一小題的題幹分析部分）：

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第2小題

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先分析題幹部分
原文 ：如圖1-1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E為AC邊的一點，F為AB邊上一點，連接CF，交BE于點D，且∠ACF=∠CBE，CG平分∠ACB交BD于點G． （1）求證：CF=BG； …… 圖解題意：

基本圖形：

發揮想象：

（重要圖形，知二求一——利用三角函數與相似，可得衆多結論）

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原文：如圖1-1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E為AC邊的一點，F為AB邊上一點，連接CF，交BE于點D，且∠ACF=∠CBE，CG平分∠ACB交BD于點G． （1）求證：CF=BG； 圖解題意：

發揮想象：

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原文：如圖1-1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E為AC邊的一點，F為AB邊上一點，連接CF，交BE于點D，且∠ACF=∠CBE，CG平分∠ACB交BD于點G．
（1）求證：CF=BG； 圖解題意：

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原文：
【例】如圖1-1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E為AC邊的一點，F為AB邊上一點，連接CF，交BE于點D，且∠ACF=∠CBE，CG平分∠ACB交BD于點G． （1）求證：CF=BG； 圖解證明：

發揮想象：

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第3小題

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原文： 【例】如圖1-1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E為AC邊的一點，F為AB邊上一點，連接CF，交BE于點D，且∠ACF=∠CBE，CG平分∠ACB交BD于點G． （1）求證：CF=BG； （3）在（2）問的條件下，…… 圖解題意： 見上述圖形，另外還有以下結論：

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原文：
【例】如圖1-1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E為AC邊的一點，F為AB邊上一點，連接CF，交BE于點D，且∠ACF=∠CBE，CG平分∠ACB交BD于點G． （1）求證：CF=BG； （3）在（2）問的條件下， 當∠GAC=2∠FCH時，……． 圖解題意：

用方程思想處理“ ∠GAC=2∠FCH ” ，得到30°的特殊角．
進一步，還可以得到衆多與之相關的重要結論（後續需要時說明）

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原文：
【例】如圖1-1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E為AC邊的一點，F為AB邊上一點，連接CF，交BE于點D，且∠ACF=∠CBE，CG平分∠ACB交BD于點G． （1）求證：CF=BG； （3）在（2）問的條件下，當∠GAC=2∠FCH時，如圖1-3， 若BG=6，……

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圖解題意：

原文：
【例】如圖1-1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E為AC邊的一點，F為AB邊上一點，連接CF，交BE于點D，且∠ACF=∠CBE，CG平分∠ACB交BD于點G． （1）求證：CF=BG； （3）在（2）問的條件下，當∠GAC=2∠FCH時，如圖1-3，若BG＝6， （或S△AEG=3√3），…… 圖解題意：

原文：
【例】如圖1-1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E為AC邊的一點，F為AB邊上一點，連接CF，交BE于點D，且∠ACF=∠CBE，CG平分∠ACB交BD于點G． （1）求證：CF=BG； （3）在（2）問的條件下，當∠GAC=2∠FCH時，如圖1-3，若S △AEG=3√3，（或BG=6）， 求AC的長． 圖解題意：

發揮想象：
非Rt△隻需三個條件（至少一個是邊的條件）即可解之． 至此，本題已完美解決．

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反思：逐字逐句讀懂試題表述，耐心感受和體會圖形的點、線、形的“生成”與“呈現順序”．善用數學語言表述你所得到的結論，并标注上“相應标記”，根據圖形上的點、線、形的位置關系與特點，大膽思考，并解讀試題所涉及的相關知識内容，再進行綜合運用即可解決問題．

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案例2：純代(函)數綜合

題幹解讀： 原文 ：在平面直角坐标系xoy中，已知點A．若對點A作如下變換： 讀出題意：坐标系背景下：（養成好習慣）建立坐标系，此時的點尚未确定，可理解為動點，另外此語句也道出的試題背景，新定義或閱讀理解的開始． 原文 ：作點A關于x軸的對稱點A 1……
讀出題意：點A與點A 1的坐标聯系：橫坐标相同，縱坐标相反，即若A（a，b），則A 1（a，-b），其中a、b是任意實數．在坐标系表示時，點A和點A 1可以在任意象限或坐标軸上，若連接AA 1，則有AA 1垂直平分x軸． 原文 ：以O為位似中心，作線段OA 1的位似圖形OA 2…… 讀出題意：位似是相似的特殊情況，相似的相關性質均成立，原文中的描述相當于：将線段以原點為放縮中心進行放縮．同時要特别注意的是：位似中心為坐标原點（特殊點），而在坐标系中，以原點為位似中心的對應點的坐标特征又是如何？（提示：若點P（m，n），相似比為k，則位似點的坐标為（km，kn）或（－km，-kn）． 原文 ：……相似比OA 2/OA 1＝q…… 讀出題意： （1）對幾何圖形來說，兩線段的長度的比值均為正數，即題中的“q“為正數.但在坐标系中，對于坐标而言，其值可正可負．自然需要考慮到關于原點對稱的兩情況； （2）q的值并不是确定的值，可理解為動參數，且q≠0，顯然當q的值變化時，位似點A 2也随之改變； （3）”點動成線“——點A 2總是在直線OA 1運動，即經過原點和點A的對稱點（A 1）上運動（原點除外）．因此當點A确定時，點A 2的運動路徑也随之确定，如下動态圖演示．

原文 ：稱A 2是點A的對稱位似點…… 讀出題意：新定義（閱讀理解）型試題，思考相關問題時，務必遵循上述規則思考點的變化，并能用數學語言和圖形語言（坐标系中表示）表達出來． 第一小題解決
讀懂了題幹，第（1）問就迎刃而解了。如下圖示：答案為（4，-6）或（-4，6）．

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第二問（兩小題） （支）題幹解讀： 原文 ：已知直線l：y=kx－2…… 讀出題意：（1）該直線的解析式中有一個參數k（位于一次項系數的位置），并且沒有任何限制條件．有一個常數－2；（2）簡單理解：直線y=kx-2是動直線，且直線的傾斜度随k的值的變化而變化，當k取特殊值0時，則直線與x軸平行，此時是一個常數函數．（3）進一步，理解本質：該直線經過定點（0，-2），且繞着定點（0，-2）旋轉的任意直線．

讀出題意： （1）抛物線C的解析式中隻含一個參數m，且位于一次項系數的位置上，同時m的值為正數，而二次項系數與常數項均為确定的常數； （2）圖象上理解：當m的值變化時，抛物線C可以由任意特殊位置（如y=-1/2x 2）進行互相平移； （3）抛物線經過定點（0，－2）（恰好也是直線y=kx-2所經過的定點），由此又可得到：若直線l與抛物線C還相交，則另一交點坐标可通過因式分解易求，即解的結果不會出現根式（本公衆号已有多篇文章說明），如下：聯立抛物線C與直線l的解析式，得：

（4）由m>0，與二次函數-1/2＜0異号，則抛物線的對稱軸x=m,位于y軸的右邊． （5）可以通過配方，得到抛物線的頂點坐标（用m表示）為(m，-m 2/2-2)． 從上述分析，顯然還是沒辦法畫出準确的函數圖象，但可以根據m的值畫出草圖了）

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（5）當m=2k時，x M＝2(m-k)＝2k，對應的y m=-2k 2-2，即 M(2k，-2k2-2)．此時點M恰為抛物線C的頂點； 當m=－k時，x M＝2(m-k)＝－4k，對應的y m=-4k 2-2，即 M(-4k，-4k2-2)．

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第二題（1）問的解決
原文 ：①當k=1/2時，……； 讀出題意：當k=1/2時，由上述題幹解讀知：所有的相關點的坐标（如N（2，））．和相關式子均可具體求出；當然也可直接代入進行求解．本小題所需要的點是 N（2，-1）． 原文 ：判斷E（1，－1）是否為點N的對稱位似點？請說明理由； 讀出題意：此時E（1，-1）和N（2，-1），根據題幹解讀知：隻需判斷點E是否在直線ON（y=-x/2）點?或E點與N點的坐标能否滿足：橫坐标的比＝縱坐标的比（比值絕對值即為題中的q）?因此隻需将相關數據直接代入計算即可判斷． 答案如下： 【法一】因點N關于x軸的對稱點N 1（2，1），根據定義，N點的位似點應為(2t，t)(t為任意實數，用t代替q，避免分類)，進一步，得：N點的位似點應在直線y=x/2上（原點除外）．顯然E（1，-1）不在直線y=x/2上，所以當k=1/2時，點E（1，-1）不是點N的對稱位似點．如下圖示，

第二題（2）問的解決 問題再現：若直線l與抛物線C交于點M（x 1，y 1）（x 1≠0），且點M不是抛物線的頂點，則點M的對稱位似點是否可能仍在抛物線C上？請說明理由． 下面詳細分析 原文 ：直線l與抛物線C交于點M（x 1，y 1）（x 1≠0）…… 讀出題意：（支）題幹解讀中已詳細分析． M(2k，-2k2-2)或 M(-4k，-4k2-2) 原文 ：點M不是抛物線的頂點…… 讀出題意：因頂點為 (2k ，-2k2-2)（題幹解讀中已有分析），所以 M(-4k，-4k2-2)． 原文 ：點M的對稱位似點…… 讀出題意：因 M(-4k ，-4k2-2)，根據題幹解讀知：點M關于x軸的對稱點為M 1(-4k，4k 2+2)， 點M的對稱位似點為M2(-4k t ，(4k2+2) t )(t≠0的實數，用t不用原來的q是為了避開分類讨論)．