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拉普拉斯變換的本質意義（好文！通俗易懂）

奧列弗.赫維賽德，維多利亞時期英國人，全靠自學，聽力殘疾。很多人熟悉赫維賽德是因為MATLAB有一個赫維賽德（Heaviside）函數。

赫維賽德簡化了麥克斯韋方程組：即變化的電場産生磁場，變化的磁場産生電場。讓20個方程組便成了4個。
**赫維賽德另一個貢獻就是我們今天要說的運算微積分-它可以将常微分方程轉換為普通代數方程。**赫維賽德是怎麼解微分方程的呢？他把微分、積分運算用一個簡單的算子來代替。


也就是說，在某種算子下，積分和微分對應的是倒數關系，至于算子 p 代表什麼，赫維賽德也沒有多解釋，在缺乏嚴密數學基礎的情況下，人家直接放在文章就用了，還發表了。比如常見的一個二階常微分方程，

如果用赫維賽德的微分算子變換一下，就變成了代數表達式。

赫維賽德之所以這麼做，是因為他的“物理直覺”告訴他這麼做，就是這麼硬。這顯然是一種開外挂的行為，因此也受到當時的主流數學家們們的攻讦，他們認為赫維賽德就是十足的“民科”，文章沒什麼理論依據，自己在那空想呢。當然，赫維賽德也不是弱雞，科學家怼起人來，也是毫不含糊：“因為我不能理解消化過程就拒絕晚餐嗎？不，隻要我滿意這個結果。”
好了，扯了那麼遠，有童鞋已經不耐心了：這些和拉普拉斯變換有什麼關系？謎底就是：赫維賽德的微積分算子，就是拉普拉斯變換的前身。

傅裡葉變換（輕量版拉普拉斯變換）

在說拉普拉斯變換以前，我們要先提一下傅裡葉變換，這可以看成是輕量版的拉普拉斯變換。傅裡葉變換說的是什麼事？說的是自然界的很多現象，都可以用三角函數進行分解。





clc;clear; h = animatedline; xl=xlabel('cos(\omegat)');% yl=ylabel('sin(\omegat)');% grid on; title('\omega = 1rad/s Made by J Pan') axis([-1,1,-1,1]); axis square; N = 100; t=linspace(0,2*pi,N); w=1; x=cos(w*t); y=sin(w*t); a = tic; % start timer for k = 1:N addpoints(h,x(k),y(k)); hold on quiver(0,0,x(k)*1.1,y(k)*1.1) b = toc(a); % check timer if b > (1/90) drawnow % update screen every 1/30 seconds a = tic; % reset timer after updating end end



你能想象到很多曲線，都可以用這些不同頻率，連續旋轉的圓，通過線性疊加得到，而傅裡葉定律，就是對這個結論的數學描述。
傅裡葉定律說：隻要一個函數滿足如狄利赫裡條件，都能分解為複指數函數之和，哪怕是如拉格朗日提到的帶有棱角的方波函數。狄利赫裡條件為：

其中可去間斷點和跳躍間斷點屬于第一類間斷點
于是就可以很好的解釋拉格朗日和傅裡葉之間的争論了——拉格朗日是對的：正弦曲線無法組合成一個帶有棱角的信号，棱角處會有很小高頻波動（吉布斯現象）。但是，我們可以用正弦曲線來非常逼近地表示它，逼近到兩種表示方法不存在能量差别，基于此，傅裡葉也是對的。一個從數學家的角度，一個從工程師的角度。

拉普拉斯變換-原來就是這麼回事
傅裡葉變換能幫我們解決很多問題，一經問世後便受到廣大工程師們的喜愛，因為它給人們提供了一扇不同的窗戶來觀察世界，從這個窗戶來看，很多事情往往變得簡單多了。但是，别忘了，傅裡葉變換有一個很大局限性，那就是信号必須滿足狄利赫裡條件才行，特别是那個絕對可積的條件，一下子就攔截掉了一大批函數。比如函數 f(t)=t^2 就無法進行傅裡葉變換。這點難度當然拿不到聰明的數學家們，他們想到了一個絕佳的主意：把不滿足絕對的可積的函數乘以一個快速衰減的函數，這樣在趨于無窮 時原函數也衰減到零了，從而滿足絕對可積。


這裡我要補充一下，不是為了保證一直為衰減，指數函數，要衰減，在負半軸也是衰減的，要增加，在正負半軸都是增加的。是因為在我們關心的系統中，不對時間的負半軸作分析。因此，我們更多使用單邊的拉普拉斯變換，而不是使用雙邊的拉普拉斯變換，這樣的系統稱之為因果系統不需要考慮 t=0 時的系統初始條件。
我知道大部分人前面的數學推導沒什麼興趣，接下來就是放彩蛋的時刻了，很多童鞋會說不管傅裡葉變換或者拉普拉斯變換是什麼細節，你能說點有意思的，讓人能記憶深刻的信息嗎？

clc;clear; h = animatedline; h1=gcf; view(3); xl=xlabel('cos(\omegat)');% yl=ylabel('sin(\omegat)');% zl=zlabel('t');% set(xl,'Rotation',30);% set(yl,'Rotation',-30);% grid on; title('\omega = 1rad/s Made by J Pan') axis([-1,1,-1,1,0,4*pi]) N = 200; t=linspace(0,4*pi,N); w=1; x=cos(w*t); y=sin(w*t); a = tic; % start timer for k = 1:N addpoints(h,x(k),y(k),t(k)); hold on line([0 x(k)],[0 y(k)],[t(k) t(k)],'Color','red') b = toc(a); % check timer if b > (1/90) drawnow % update screen every 1/30 seconds a = tic; % reset timer after updating end end


clc;clear; h = animatedline; h1=gcf; view(3); xl=xlabel('cos(\omegat)');% yl=ylabel('sin(\omegat)');% zl=zlabel('t');% set(xl,'Rotation',30);% set(yl,'Rotation',-30);% grid on; title('\omega = 1rad/s Made by J Pan') axis([-1,1,-1,1,0,4*pi]) N = 200; t=linspace(0,4*pi,N); w=1;sig=-0.2; x=exp(sig*t).*cos(w*t); y=exp(sig*t).*sin(w*t); a = tic; % start timer for k = 1:N addpoints(h,x(k),y(k),t(k)); hold on line([0 x(k)],[0 y(k)],[t(k) t(k)],'Color','red') b = toc(a); % check timer if b > (1/90) drawnow % update screen every 1/30 seconds a = tic; % reset timer after updating end end

螺旋曲線和衰減函數的乘積：一個半徑不斷減小的螺旋曲線。從不同的平面看，就是不斷衰減的正弦或者餘弦曲線，從複平面來看，是一個半徑不斷減小的圓。

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