數學為何能走上科學道路？康德的數學哲學觀

康德（Immanuel Kant）在近代哲學上恰似一個處于貯水池地位的人。可以這樣說，康德以前的哲學皆流向康德，而康德以後的哲學又是從康德這裡流出。對于數學哲學來說，情況亦是如此。比如，作為直覺主義的奠基人，布勞威爾就把康德當作先驅∶

在康德的哲學中，我們找到了一種目前幾乎已被徹底抛棄的直覺主義的古老形式。

康德的哲學思想深受牛頓的自然科學影響，從而從唯理論轉向了經驗論。直到休谟懷疑論的出現才打破了他"教條主義的迷夢"。對休谟理論的完全接受就意味着他不得不承認因果性隻能出自于習慣。這樣，自然科學的普遍性和必然性就有可能失去根基，因而崇拜牛頓自然科學的康德是斷然不會完全接受休谟相關理論的。這時，先前他所持有的唯理論倒給了他解決這一理論困難的重要啟示。

為了建立起自然科學普遍性和必然性的根基，并參照自然科學建立起科學的形而上學，康德選擇把唯理論和經驗論有機結合起來。他這方面的文獻包括了《純粹理性批判》、《實踐理性批判》、《判斷力批判》等，而對數學哲學思想的論述主要出現在《純粹理性批判》裡。其中，康德探讨了一個重要問題，即“數學為何能走上科學道路？”。他相信對該問題的解答會對如何建立起科學的形而上學有所啟迪。最終，他把其原因歸結為∶數學知識都是先天綜合判斷（因而，科學的形而上學知識也必須是先天綜合判斷）：

不難指出，在人類的知識中會有這樣一些必然的和在嚴格意義上普遍地、因而純粹的先天判斷。如果想從科學中舉出一個例子，那麼我們隻需把目光投向一切數學命題。而且，數學的判斷全部都是綜合的。

現在就讓我們來看看什麼樣的判斷才是先天綜合判斷。康德首先區分了“分析判斷”與“綜合判斷”∶

……要麼是謂詞B屬于主詞A，是（隐蔽的）包含在A這個概念中的東西，要麼是B完全外在于概念A，雖然它與概念A有關聯。在前一種情況下我把這判斷叫做分析的，在第二種情況下則稱為綜合的。

康德又這樣定義了“先天判斷”∶

所以我們在下面将把先天的知識理解為并非不依賴于這個那個經驗，而是完全不依賴于任何經驗所發生的知識。而先天判斷之外的判斷就屬于“後天判斷”。

既是先天判斷又是綜合判斷的判斷就是“先天綜合判斷”。它兼具這兩種判斷的本質特征∶一方面，在先天綜合判斷中，謂詞概念不包含在主詞概念裡。因此，這種判斷就能對原有知識進行擴充而不同于隻有解釋作用的分析判斷，後者隻能把主詞概念中已有的内容明确地顯示出來；另一方面，先天綜合判斷中主詞概念和謂詞概念的相互結合是具有先天性的，所以它就不同于依賴于經驗的後天判斷，後者永遠不能排除遇到反例的可能，即使至今還沒有遇到。另外，康德把“先天性”等同于“必然性”和“普遍性”，因為“…必然性和嚴格普遍性就是一種先天知識的可靠标志，而兩者也是不可分割的相互從屬的。”

康德主要探讨的數學分支是幾何學。他是這樣定義這門學科的：

幾何學是綜合地卻又是先天地規定空間屬性的一門科學。

關于空間，康德有以下論述∶

空間不是什麼從外部經驗中抽引出來的經驗性概念。因為要使某些感覺與外在于我的某物發生關系（也就是與空間中不同于我所在的另一地點中的某物發生關系），并且要使我能夠把它們表象為相互外在，相互并列，因而不隻是各不相同，而且是在不同的地點，這就必須已經有空間表象作基礎了。因此空間表象不能從外部現象的關系中由經驗借來，相反，這種外部經驗本身隻有通過上述表象才是可能的。

由此可見，任何關于外界的經驗知識裡都包含了作為“質料”的後天成分和作為“形式”的先天成分，其中的先天成分首先就包括了空間。一切關于外界的經驗知識都是先天成分和後天成分的有機複合，所以空間就成為這種知識可能性的必要條件了。

人的認識能力可分為感性、知性和理性。由于認識到空間是人類最基本的認識之一，所以認識到它所憑借的認識能力一定不是最高級的理性。那麼，該能力是感性還是知性呢？通過感性所産生的是特殊、具體的直觀，而通過知性所産生的則是普遍、抽象的概念。衆所周知，我們隻有先認識到諸多個體，才能通過抽象形成代表這些個體共性的概念。那麼，如果空間是概念的話，我們就必須先認識到諸多作為個體的空間。然而，康德卻認為任何個體的空間都是整個空間的部分，并且它們也不能“先行于”那唯一的無所不包的空間而被設想。因此，空間不可能是概念，而是一種直觀，即關于空間的“純直觀”，所以認識到它的能力就是感性。

雖然從上面的論述可知，為了獲取對空間的認識就必須先有一次外部經驗，但空間的先天性又使得我們以後不再需要通過外部經驗就能獲得更多關于空間屬性的知識，即幾何知識。這就顯示出了幾何知識的先天性。

另一方面，如果隻有對整個空間的純直觀，那麼我們就隻能知道空間是無限的、連續的等極少幾個屬性。為了獲取更多幾何知識，我們就必須通過在空間中進行“構造”，例如進行“延長”、“分割”等行動限制出空間的部分作為對象，例如用三條直線限制出一個三角形。這就顯示出了幾何學知識的綜合性。

反之，我們若給一位哲學家一個三角形的概念，并讓他按照自己的方式去發現三角形的内角之和可能會與直角有什麼關系。他現在隻有在三條直線内所圍成的一個圖形的概念，以及在這個圖形上的三個角的概念。現在，不論他對這個概念沉思多久，他也不會得出任何新的東西。他可以分解直線的概念，或是一個角的概念，或是“3”這個數的概念，并使之變得清晰，但不能想到在這個概念中根本沒有的其他屬性。

該哲學家顯然不可能得出“三角形内角和是180度”這一結論。況且，通過概念分析所得到的判斷都是普遍、抽象的，而幾何判斷中的各種對象卻是整個空間或在其中限制出來的部分，因而這種判斷必定都是特殊、具體的。

邏輯實證主義者認為“三角形内角和等于180度”可以改寫為“如果一個形狀是三角形，并且它處于歐氏空間，那麼它的内角和是180度”，這樣它就變分析判斷了，并且歐氏空間也可以用公理系統給出。康德卻認為這個所謂的“分析判斷”本質上不是分析判斷，因為如果沒有無窮倒退的話，它最終還是要建立在一個或幾個綜合判斷之上的。況且，歐氏幾何的一緻性還懸而未決。

随着非歐幾何的發展，康德的數學哲學，尤其是幾何觀，很快就被質疑。就連把康德作為直覺主義先驅的布勞威爾也認為∶

但是對康德理論的最嚴重的打擊是非歐幾何的發現，這是從一組公理發展而來的一個一緻性理論，這組公理與初等幾何的不同之處僅在于把平行公理換成它的否定。

如果可以證明非歐幾何具有一緻性，那麼人們也就完全可以設想非歐幾何空間了。這樣，歐氏幾何空間就不再擁有絕對意義上的先天性了。出于歐氏幾何的廣泛應用，我們或許可以認為它在可觀測的世界裡仍然具有相對的先天性。然而，布勞威爾認為∶

通常用初等幾何的語言描述的現象，可以用非歐幾何的語言同樣精确地描述，隻是往往描述得不大緊湊而已…不僅認為我們的經驗空間具有初等幾何的性質是不可能的，而且要求那種對我們的經驗空間為真的幾何學也是毫無意義的。誠然，初等幾何比任何其他幾何學更适合于描述剛體的運動學規律，從而也适合描述大量自然現象。但是隻要耐心人們就可以制造出那樣的對象，對于它們來說用非歐幾何比用歐氏幾何更容易解釋其運動學。

洛倫茨變換就是一例。這一觀點也被之後的廣義相對論所佐證。

另外一個使得康德的數學哲學很快被質疑的原因是邏輯學的發展。康德的數學哲學是以古老的亞裡士多德邏輯為基礎的。他在《邏輯學講義》中說∶

從亞裡士多德時代以來，邏輯在内容方面就收獲不多，而就其性質來說，邏輯也不能再增加什麼内容。但是它在嚴密、确定和明晰方面确有所得。隻有少數科學能夠保持情況固定，不再改變。邏輯和形而上學就屬于這類科學。亞裡士多德沒有漏掉一個知性要素；我們在其中所作的，隻是使之更加嚴密、更加系統和有秩序。

然而，亞裡士多德的邏輯本身就是有局限性的。由于它建立于自然語言之上，因而看上去極其類似的主謂式語句可能就對應于不同的邏輯形式。比如，"男人是人”、“柏拉圖是人”和“柏拉圖是亞裡士多德的老師”就分别對應于不同的邏輯形式。另外，亞裡士多德邏輯也處理不了關系判斷等判斷。

按照康德對分析判斷和綜合判斷的區分，我們或許可以把判斷"7+5=12"說成是綜合判斷，因為“12”的概念不包含“7+5”的概念并且“7+5”的概念也不包含“12”的概念。這是因為人們或許隻有“12”的概念而沒有“7+5”的概念的情況，比如兒童會數數但不會做加法。反過來，人們也可能隻有“7+5”的概念而沒有“12”的概念，即他們沒有大數字的概念。據記載∶ 洛克就知道一個原始部落，其中的人隻能從1數到10，10以上就都是"多"。這些人也能做這樣的加法∶

• 7+1=8

• 7+2=9

• 7+3=10

• 7+4=多

• 7+5=多

• 等等。

以上引用的例子似乎證明了康德對于“分析判斷”定義是正确的。但我們可以反駁說，康德僅僅把分析應用于判斷的主詞概念，而沒有應用于謂詞概念，而人們是可以同時分析主詞概念和謂詞概念的，然後看看它們是否相同。萊布尼茨的例子可以說明這一點∶

邏輯規則∶

• （i）a=a

• （ii）如果b=c，那麼 a+b=a+c且b+a=c+a

定義∶2=1+1；3=2+1；4=3+1

既然，概念“2+2”和“4”都能根據概念“1”和“+1”來分析，那麼我們就能得到這兩個概念的相等。可見，康德對于“分析判斷”的定義過于簡單了。

康德的數學哲學調和了唯理論和經驗論，解釋了數學在物理世界的可應用性和它的必然性。作為唯理論者代表，斯賓諾莎顯然非常重視數學。他甚至按《幾何原本》的形式來寫作《幾何倫理學》。唯理論者可以繼承柏拉圖的觀點去解釋數學的必然性。但由于數學世界和物理世界的相互分離，唯理論者顯然無法解釋數學對于物理世界的可應用性。經驗論可以繼承了亞裡士多德的某些基本觀點，認為“數學家間接地研究可觀察的物理對象之間的物理性質”。

但他們卻無法解釋數學為何具有必然性。康德對數學在物理世界中的可應用性的解釋于類似于經驗論，但也有明顯的不同之處。以幾何學為例，除了對整個空間及極少幾個基本性質的認識需要一次感覺經驗外，其它的認識都是由在空間中進行的構造所産生的。這就是幾何學的先天性質。

為了解釋數學必然性，康德所采取的策略是把必然性等同于先天性，但科學的發展告訴我們康德所崇尚的歐氏幾何的先天性已經受到了廣泛的質疑，而且這種策略本身也是有問題的。如果等同于“先天性”的“必然性”意味着作為純直觀的空間必然導緻歐氏幾何，那麼就不對了。康德的空間作為純直觀隻有連續性和無限性這兩個本質屬性，而符合連續性和無限性的空間根本不止歐氏幾何空間一個。歐氏幾何空間還有别的特殊規定（比如平行公理），而這種規定并沒有必然性的。