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2022深圳中考數學壓軸題分析2：折疊與幾何求值問題

本題内容選自2022深圳中考數學壓軸題，以矩形、菱形和正方形為背景，考查折疊産生的線段求值問題。

此類問題主要涉及全等、勾股、相似和三角函數等知識進行求解。

【題目】

（2022·深圳）（1）發現：如圖①所示，在正方形ABCD中，E為AD邊上一點，将△AEB沿BE翻折到△BEF處，延長EF交CD邊于G點．求證：△BFG≌△BCG；

（2）探究：如圖②，在矩形ABCD中，E為AD邊上一點，且AD＝8，AB＝6．将△AEB沿BE翻折到△BEF處，延長EF交BC邊于G點，延長BF交CD邊于點H，且FH＝CH，求AE的長．

（3）拓展：如圖③，在菱形ABCD中，AB＝6，E為CD邊上的三等分點，∠D＝60°．将△ADE沿AE翻折得到△AFE，直線EF交BC于點P，求PC的長．

【分析】

（1）本題非常簡單，直接根據HL即可列出結論。

題目的模型就是常見的正方形半角模型。

（2）如圖，根據折疊可以得到△ABE≌△FBE，則BF=AB=6。

設CH=FH=x，因為BC=8，可以根據勾股定理得到x的值。

8²+x²=(6+x)²，解得x=7/3。

如上圖，連接GH，可以得到△GHF≌△GHC（HL），此時可以得到GF=GF，

再根據△BFG∽△BHC，可以得到BF/FG=BC/CH，

求出CG=FG=7/4，

那麼就可以得到BG=8-CG=25/4，

根據對稱+平行，可以得到BG=FG，那麼就可以得到AE=EF=8/4=9/2。

（3）本小題為壓軸一問，由于點E為CD的三等分點，因此點E有兩種情況，需要分類讨論。

先從E1開始分析。

如圖，畫出圖形，延長PE交AD于點G。根據折疊，可以得到上面的兩個紅色三角形全等，即△AED≌△AEF。

同時也可以得到△AEG≌△AEH，再過點G作GM⊥CD于M。

設EH=x，那麼GE=EH=x，

由于∠EAD=∠EAH，那麼就可以根據角平分線的性質與面積公式，

得到DE/EH=AD/AH，即2/x=6/AH，則AH=3x。

那麼就可以得到AG=AH=3x，那麼DG=6-3x。

此時根據含60°角三角形的邊角關系（勾股、三角函數等），

可以得到DM=(3-3x/2)，GM=√3(3-3x/2)，EM=(3x/2-1)。

在Rt△GME中，根據勾股定理，可以求出x的值。

EM²+GM²=GE²，即(3x/2-1)²+3(3-3x/2)²=x²，

解得x1=2（舍去），x2=7/4。

那麼就可以得到DG=6-3x=3/4。

因為△DGE∽△CPE，那麼就可以得到PC=2DG=3/2。

當點E靠近點C時，如下圖所示。

此時可以設GE=x，那麼就可以得到GE/EF=AG/AF，

即x/4=AG/6，AG=3x/2，

那麼就可以得到DG=3x/2-6。

進而得到DM=3x/4-3，GM=√3(3x/4-3)。

那麼EM=4+DM=3x/4+1。

在Rt△GEM中，GM²+EM²=GE²，

即3(3x/4-3)²+(3x/4+1)²=x²，

解得x1=4（舍去），x2=28/5。

那麼就可以得到DG=12/5，

根據△DGE∽△CPE，那麼就可以得到PC=1/2DG=6/5。

綜上所述，可以得到PC的長為3/2或6/5。

【總結】

折疊是比較常見的問題，本題利用角平分線的性質得到比例關系，有助于快速解題。

具體方法介紹請看《中考數學壓軸題全解析》。

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