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中考數學壓軸抛物線問題，不僅要能完成，而且要完成得簡潔快捷

這是中考數學壓軸題中比較常見的抛物線問題。完成不難，但要快速找到方法，快捷完成，解題的過程還要簡潔，沒有平時足夠的訓練和努力，一般人是做不到的。因此建議大家多練一練。題目是這樣的：

抛物線y=x^2+bx-3(b為常數)經過A(-1,0).

(1)求該抛物線的解析式和頂點坐标；

(2)P(m,t)為抛物線上的一個動點，P關于原點的對稱點為P’.

①當點P’落在該抛物線上時，求m的值；

②當點P’落第二象限内，P’A^2取得最小值時，求m的值.

解：(1)将A(-1,0)代入解析式，得：1-b-3=0, 解得b=-2,

∴該抛物線的解析式為：y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4, 頂點坐标為(1,-4).

【第(1)小題也可以運用頂點坐标公式來求，但不如直接化為頂點式快捷、簡潔】

(2)①P’(-m,-t), 當m^2-2m-3=-((-m)^2-2(-m)-3)時，【即相反的自變量有相反的函數】

m^2-3=0, 解得：m=±根号3.

【第(2)小題，第①個問題，這樣解決應該算是非常快捷簡潔了吧！關鍵就是抓住關于原點對稱的兩點坐标的關系，以及這兩點都在抛物線上的條件，列出關于m的方程】

②依題意：m>0, t<0,【即P點在第四象限，所以P'點在第二象限】

P’A^2=(-m+1)^2+(-t)^2=m^2-2m+1+t^2=t^2+(m^2-2m-3)+4=t^2+t+4=(t+1/2)^2+15/4,

【上面這一步是這道題最關鍵的地方，運用了構造代入法，是中考，甚至是高考中常用的方法之一，還是相當巧妙的，一定要學會運用哦】

所以當t=m^2-2m-3=-1/2，即2m^2-4m-5=0時，P'A^2=15/4最小。

解得m=(2+根号14)/2，或m=(2-根号14)/2（舍去）。

需要注意的是，最後這個問題不能運用均值不等式來求解。上圖可以明顯看出，當m-1=-t時，并不能取得P'A^2的最小值。主要是因為-t(m-1)并不是一個定值。

怎麼樣，這個解題過程足夠簡便了吧！

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