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【幾何壓軸題】旋轉變換、全等三角形、等腰直角三角形、直角三角形、三角形中位線綜合題

【解析】

解：（1）結論：FD＝FC，DF⊥CF．

理由：如圖1中，

∵∠ADE＝∠ACE＝90°，AF＝FE，

∴DF＝AF＝EF＝CF，

∴∠FAD＝∠FDA，∠FAC＝∠FCA，

∴∠DFE＝∠FDA+∠FAD＝2∠FAD，∠EFC＝∠FAC+∠FCA＝2∠FAC，

∵CA＝CB，∠ACB＝90°，

∴∠BAC＝45°，

∴∠DFC＝∠EFD+∠EFC＝2（∠FAD+∠FAC）＝90°，

∴DF＝FC，DF⊥FC．

（2）結論不變．

理由：如圖2中，延長AC到M使得CM＝CA，延長ED到N，使得DN＝DE，連接BN、BM．EM、AN，延長ME交AN于H，交AB于O．

∵BC⊥AM，AC＝CM，

∴BA＝BM，同法BE＝BN，

∵∠ABM＝∠EBN＝90°，

∴∠NBA＝∠EBM，

∴△ABN≌△MBE，

∴AN＝EM，∴∠BAN＝∠BME，

∵AF＝FE，AC＝CM，

∴FD＝FC，

∵∠BME+∠BOM＝90°，∠BOM＝∠AOH，

∴∠BAN+∠AOH＝90°，

∴∠AHO＝90°，

∴AN⊥MH，FD⊥FC．

【點睛】

本題考查等腰直角三角形的性質、旋轉變換、全等三角形的判定和性質、直角三角形斜邊中線的性質、三角形中位線定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．

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