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【初中數學】三角形内角和的延伸模型—“飛镖”和“八字”模型

【初中數學】三角形内角和的延伸模型—“飛镖”和“八字”模型

七年級的同學學完第7章-平面圖形的認識（二）後經常遇到求角度問題，用到的知識點無非以下幾個： 1、三角形内角和等于180°
2、三角形的外角等于它不相鄰的兩個内角之和 3、多邊形的内角和為（n-2）180° 4、多邊形的外交和為360° 5、兩直線平行，同位角相等 6、兩直線平行，内錯角相等 7、兩直線平行，同旁内角互補

【初中數學】三角形内角和的延伸模型—“飛镖”和“八字”模型

由三角形的内角和可以推出兩個常用的基本模型；“飛镖”模型和“八字”模型。
1、“ 飛镖”模型

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結論：∠ADB=∠A+∠B+∠C
證明方法如下：
方法1用外角去證

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Or

方法2用内角和去證

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數學思想-轉化化歸，無論哪種方法都是轉化為三角形去解決。 2、“八字”模型

【初中數學】三角形内角和的延伸模型—“飛镖”和“八字”模型

結論：∠A+∠B=∠C+∠D

【初中數學】三角形内角和的延伸模型—“飛镖”和“八字”模型

下面通過求五角星的内角和以及他的變式圖形的内角和來熟悉“飛镖”模型和“八字”模型的使用。 1、求圖形（1）的 ∠A 、 ∠B 、 ∠C 、 ∠D 、 ∠E 滿足 的數量 關系

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圖形（1）

簡解：


【初中數學】三角形内角和的延伸模型—“飛镖”和“八字”模型

由“飛镖”模型可得到：∠CPD=∠A+∠ACP+∠PDA（ 綠色圖形 ）

【初中數學】三角形内角和的延伸模型—“飛镖”和“八字”模型

由“八字”模型可得到：∠B+∠E=∠PCD+∠PDC（紅色圖形）

【初中數學】三角形内角和的延伸模型—“飛镖”和“八字”模型

∴ ∠A+∠ACP+∠PDA+∠B+∠E=∠CPD+∠PCD+∠PDC=180°

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2、求圖形（2）的∠A、∠B、∠C、∠D、∠E滿足的數量關系

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圖形（2）

圖解如下：

“飛镖”模型（綠色圖形）

【初中數學】三角形内角和的延伸模型—“飛镖”和“八字”模型

“ 八字 ”模型 （ 紅色圖形 ）

【初中數學】三角形内角和的延伸模型—“飛镖”和“八字”模型

∴ ∠A+∠ACP+∠PDA+∠B+∠E=∠CPD+∠PCD+∠PDC=180°

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3、求圖形（3）的∠A、∠B、∠C、∠D、∠E滿足的數量關系

【初中數學】三角形内角和的延伸模型—“飛镖”和“八字”模型

圖形（3）

圖解如下：

“飛镖”模型（綠色圖形）

【初中數學】三角形内角和的延伸模型—“飛镖”和“八字”模型

“ 八字 ”模型（ 紅色圖形）

【初中數學】三角形内角和的延伸模型—“飛镖”和“八字”模型

∴ ∠A+∠ACP+∠PDA+∠B+∠E=∠CPD+∠PCD+∠PDC=180°

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4、求圖形（4）的∠A、∠B、∠C、∠D、∠E滿足的數量關系

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圖形（4）

圖解如下：

“飛镖”模型（綠色圖形）

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“ 八字 ”模型（ 紅色圖形）

【初中數學】三角形内角和的延伸模型—“飛镖”和“八字”模型

∴ ∠A+∠ACP+∠PDA+∠B+∠E=∠CPD+∠PCD+∠PDC=180°

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5、求圖形（5）的∠A、∠B、∠C、∠D、∠E滿足的數量關系

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圖形（5）

圖解如下：

“八字”模型（紅色圖形）

【初中數學】三角形内角和的延伸模型—“飛镖”和“八字”模型

∵∠PCD+∠PDC=∠B+∠E

∴∠A+∠ACP+∠PDA-∠B-∠E

=∠A+∠ACD+∠PCD+∠PDC+∠ADC-∠B-∠E

=∠A+∠ACD+∠ADC

=180°

∴∠A+∠ACP+∠PDA-∠B-∠E=180°

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6、求圖形（6）的∠A、∠B、∠C、∠D、∠E滿足的數量關系

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圖形（6）

圖解如下：

“八字”模型（紅色圖形）

【初中數學】三角形内角和的延伸模型—“飛镖”和“八字”模型

∵∠PCA+∠ACD+∠PDC=∠B+∠E

∠A+∠ACD+∠ADC=180°

∴(∠A+∠ACD+∠ADC)-(∠PCA+∠ACD+∠PDC)=180°-(∠B+∠E)

∴∠A+∠ACD+∠ADC-∠PCA-∠ACD-∠PDC=180°-(∠B+∠E)

∴∠A+∠ADC-∠PCA-∠PDC=180°-(∠B+∠E)

∴∠A+∠ADP-∠PCA=180°-(∠B+∠E)

∴∠A+∠B+∠ADP+∠E-∠PCA=180°

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7、求圖形（7）的∠A、∠B、∠C、∠D、∠E滿足的數量關系

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圖形（7）

圖解如下：

“八字”模型（紅色圖形）

【初中數學】三角形内角和的延伸模型—“飛镖”和“八字”模型

∵∠PCD+∠PDC=∠B+∠E

∠A+∠ACD+∠ADC=180°

∴(∠PCD+∠PDC)-(∠A+∠ACD+∠ADC)=∠B+∠E-180°

∴∠PCD+∠PDC-∠A-∠ACD-∠ADC=∠B+∠E-180°

∴∠PCA+∠ACD+∠PDA+∠ADC-∠A-∠ACD-∠ADC=∠B+∠E-180°

∴∠ECA+∠BDA-∠A=∠B+∠E-180°

∴∠A+∠B+∠E-∠ADB-∠ACE=180°

【初中數學】三角形内角和的延伸模型—“飛镖”和“八字”模型

最後看下它們之間的轉變過程，圖形發生改變時，有時結論不變，有時改變。

【初中數學】三角形内角和的延伸模型—“飛镖”和“八字”模型

【初中數學】三角形内角和的延伸模型—“飛镖”和“八字”模型

【注】轉自《初中數學課外提升》。

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