【河南中考】（2021年解答題23題）幾何綜合探究題解讀與解析

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通過本文的學習（閱讀），夥伴們要弄清楚以下幾個問題 1.幾何綜合探究題河南出題有什麼特點？有什麼新的變化？ 2.5種基本的尺規作圖有哪些？分别是如何作的？依據是什麼？以往河南中考尺規作圖常如何考查？ 3.證明全等的方法有哪些？常見的邊、角相等的條件有哪些？你有什麼經驗教訓？ 4.常見的全等模型有哪些？它們分别有什麼條件？有什麼結論？如何證明？有什麼注意事項？ 5.證明相似的方法有哪些？常見的相似模型有哪些？它們分别有什麼條件？有什麼結論？如何證明？有什麼注意事項？ 6.特殊角30°，45°，60°常處理如何？特殊角120°，135°，150°常處理如何？特殊角15°，22.5°， 75°常處理如何？ 7.常見的分類讨論有什麼特征？分類讨論涉及的有哪些類型？分類讨論常出現在河南中考的哪些題位？你有什麼經驗？你有哪些困難？ 8.幾何探究題中，往往涉及畫圖、分析轉化，你有哪些方法策略？

2021河南中考解答題23題 下面是某數學興趣小組探究用不同方法作一個角的平分線的讨論片段，請仔細閱讀，并完成相應的任務．

小明：如圖1，（1）分别在射線OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF（點C，E不重合）；（2）分别作線段CE，DF的垂直平分線l1，l2，交點為P，垂足分别為點G，H；（3）作射線OP，射線OP即為∠AOB的平分線． 簡述理由如下： 由作圖知，∠PGO＝∠PHO＝90°，OG＝OH，OP＝OP，所以Rt△PGO≌Rt△PHO，則∠POG＝∠POH，即射線OP是∠AOB的平分線． 小軍：我認為小明的作圖方法很有創意，但是太麻煩了，可以改進如下，如圖2，（1）分别在射線OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF（點C，E不重合）；（2）連接DE，CF，交點為P；（3）作射線OP．射線OP即為∠AOB的平分線． ……

任務：

（1）小明得出Rt△ PGO ≌Rt△ PHO 的依據是 　 　 （填序号）． ① SSS ② SAS ③ AAS ④ ASA ⑤ HL （2）小軍作圖得到的射線 OP 是∠ AOB 的平分線嗎？請判斷并說明理由． （3）如圖3，已知∠ AOB ＝60°，點 E ， F 分别在射線 OA ， OB 上，且 OE ＝ OF 1．點 C ， D 分别為射線 OA ， OB 上的動點，且 OC ＝ OD ，連接 DE ， CF ，交點為 P ，當∠ CPE ＝30°時，直接寫出線段 OC 的長．
命題解讀 本題是 與尺規作圖結合的三角形綜合題探究題 ， 命題出現一些新的變化， 難度上有所降低，試題有 繼承，有變化，有創新： 1．試題的背景、設問、考點、閱讀量均與以往有所不同． 以“尺規作角平分線”閱讀材料為背景，考查全等三角形的判定與性質，要求學生通過材料閱讀、思考填寫作圖依據、拓展作圖并證明作圖的合理性，并進一步探究求線段的長度； 2．試題加大了閱讀量，試題注重引導學生關注數學本質，引導學生理性思考，自主思考，讓學生真正體驗探究學習過程； 3．試題改變以往的固化思維模型，打破了連續七年的 “手拉手模型” 的類比拓展探究題，加大激發學生的創新意識和探究意識； 4．試題依舊注重邏輯推理，依舊注重分類讨論，依舊注重拓展延伸，依舊注重探究意識培養，依舊注重基本圖形的分析轉化．
如何思考菁優網版權所有 （1）選填全等的依據 思維點 ：由作圖得，∠ PGO ＝∠ PHO ＝90°， OG ＝ OH ， OP ＝ OP ，可知Rt△ PGO ≌Rt△ PHO 的依據 HL ； （2）證明 OP 是∠ AOB 的平分線 方法 1 ： 連接 EF ，證△ CEF ≌△ DFE ，從而得到∠ PFE ＝∠ PEF ，于是 PE ＝ PF ，所以 OP 垂直平分EF，再利用“三線合一”可得 OP 是∠ AOB 的平分線； 方法2： 連接 EF ，證△ CEF ≌△ DFE ，從而得到∠ PFE ＝∠ PEF ，于是 PE ＝ PF ，再證△ OPE ≌△ OPF ，可得 OP 是∠ AOB 的平分線； 方法3： 連接 EF ，證△ DOE ≌△ COF ，從而得到∠ OED ＝∠ OFC ，進一步∠ PFE ＝∠ PEF ，于是 PE ＝ PF ，以 OP 垂直平分EF，再利用“三線合一”可得 OP 是∠ AOB 的平分線； 方法4： 連接 EF ，證△ DOE ≌△ COF ，從而得到∠ OED ＝∠ OFC ，進一步∠ PFE ＝∠ PEF ，于是 PE ＝ PF ，再證△ OPE ≌△ OPF ，可得 OP 是∠ AOB 的平分線； 方法5： 由作圖得， OC ＝ OC ， OE ＝ OF ，再根據對頂角相等、公共角等條件可依次證明△ DOE ≌△ COF 、△ CPE ≌△ DPF 、△ OPE ≌△ OPF ，從而得到∠ POE ＝∠ POF ，所以 OP 是∠ AOB 的平分線； 方法6： 連接 CD ，證△ DOE ≌△ COF ，導角∠ PCD ＝∠ PDC ，于是 PC ＝ PD ，再垂直平分線和三線合一得 OP 是∠ AOB 的平分線； 方法7： 連接 CD ，證△ DOE ≌△ COF ，導角∠ PCD ＝∠ PDC ，于是 PC ＝ PD ，再證△ POC ≌△ POD ，所以 OP 是∠ AOB 的平分線； 方法8： 連接 CD ，證△ CDE ≌△ DCF ，導角∠ PCD ＝∠ PDC ，于是 PC ＝ PD ，再垂直平分線和三線合一得 OP 是∠ AOB 的平分線； 方法9： 連接 CD ，證△ CDE ≌△ DCF ，導角∠ PCD ＝∠ PDC ，于是 PC ＝ PD ，再證△ POC ≌△ POD ，所以 OP 是∠ AOB 的平分線； …… （3）求 OC 的長 思維點： 連接 OP ，由已知條件可證明∠ OPC ＝∠ OCP ＝75°，從而得 OP ＝ OC ，再過點 P 作 OA 的垂線構造含有特殊角的直角三角形，利用其三邊的特殊關系及分類分别求出 OC 的長．
題目詳解 解：（1） ⑤ ． 解法提示： 如圖1，由作圖得， OC ＝ OD ， OE ＝ OF ， PG 垂直平分 CE ， PH 垂直平分 DF ， ∴∠ PGO ＝∠ PHO ＝90°， ∵ OE ﹣ OC ＝ OF ﹣ OD ， ∴ CE ＝ DF ， ∵ CG CE ， DH DF ， ∴ CG ＝ DH ， ∴ OC + CG ＝ OD + DH ， ∴ OG ＝ OH ， ∵ OP ＝ OP ， ∴Rt△ PGO ≌Rt△ PHO （ HL ），故答案為： ⑤ ．

（2）射線 OP 是∠ AOB 的平分線，理由如下： 如圖2，∵ OC ＝ OD ，∠ DOE ＝∠ COF ， OE ＝ OF ， ∴△ DOE ≌△ COF （ SAS ）， ∴∠ PEC ＝∠ PFD ， ∵∠ CPE ＝∠ DPF ， CE ＝ DF ， ∴△ CPE ≌△ DPF （ AAS ）， ∴ PE ＝ PF ， ∵ OE ＝ OF ，∠ PEO ＝∠ PFO ， PE ＝ PF ， ∴△ OPE ≌△ OPF （ SAS ）， ∴∠ POE ＝∠ POF ，即∠ POA ＝∠ POB ， ∴ OP 是∠ AOB 的平分線． （3）2或2 ． 解法提示： 如圖3， OC ＜ OE ，連接 OP ，作 PM ⊥ OA ，則∠ PMO ＝∠ PME ＝90°， 由（2）得， OP 平分∠ AOB ，∠ PEC ＝∠ PFD ， ∴∠ PEC +30°＝∠ PFD +30°， ∵∠ AOB ＝60°， ∴∠ POE ＝∠ POF ∠ AOB ＝30°， ∵∠ CPE ＝30°， ∴∠ OCP ＝∠ PEC +∠ CPE ＝∠ PEC +30°，∠ OPC ＝∠ PFD +∠ POF ＝∠ PFD +30°， ∴∠ OCP ＝∠ OPC （180°﹣∠ POE ） （180°﹣30°）＝75°， ∴ OC ＝ OP ，∠ OPE ＝75°+30°＝105°， ∴∠ OPM ＝90°﹣30°＝60°， ∴∠ MPE ＝105°﹣60°＝45°， ∴∠ MEP ＝90°﹣45°＝45°， ∴ MP ＝ ME ， 設 MP ＝ ME ＝ m ，則 OM ＝ MP ·tan60° m ， 由 OE 1，得 m m 1，解得 m ＝1， ∴ MP ＝ ME ＝1， ∴ OP ＝2 MP ＝2， ∴ OC ＝ OP ＝2； 如圖4， OC ＞ OE ，連接 OP ，作 PM ⊥ OA ，則∠ PMO ＝∠ PMC ＝90°， 同理可得，∠ POE ＝∠ POF ∠ AOB ＝30°，∠ OEP ＝∠ OPE ＝75°，∠ OPM ＝60°，∠ MPC ＝∠ MCP ＝45°， ∴ OE ＝ OP 1， ∵ MC ＝ MP OP OE ， ∴ OM ＝ MP ·tan60° ， ∴ OC ＝ OM + MC 2 ． 綜上所述， OC 的長為2或2 ．

: 方法總結 1．關注“基本圖形” 提升“思維品質” 一個平面幾何圖形，常可分解成若幹個基本圖形．因此，基本圖形是構成複雜圖形的細胞．證明平面幾何問題時，若從基本圖形入手，先将題中圖形分解(構造)成幾個基本的幾何圖形，然後充分利用這些基本圖形的性質去證，常可思路廣闊，容易證明．平時注意從習題中提煉常用的基本模型，并通過識模、用模，從而強化對基本圖形的理解． 2．全等三角形的常見類型 （1）利用構造旋轉型全等解決問題，主要涉及 “當圖形中有一組鄰邊相等的問題”，解題時往往可以通過旋轉構造全等解決問題 ，常出現在： ①半角模型： 特點是大角夾半角，且鄰邊相等，處理策略是先構造旋轉型全等，然後判斷對稱型全等解決問題； ②對角互補模型： 特點是四邊形對角互補，且有一組鄰邊相等或對角線平分角，處理策略是垂直法構造全等或旋轉法構造全等； ③三爪圖模型： 特點是背景三角形一般式是等邊三角形或等腰三角形或等腰直角三角形或底角是30°的等腰三角形，和一定點并連接三角形三個頂點（這個定點可能在三角形内或者三角形外），處理策略是借助等線段共端點構造旋轉型全等解題； ⑤手拉手模型： 理策略是借助等線段共端點構造旋轉型全等或補全拉手線造全等解題； （2）對稱型全等 與角平分線相關的常構造對稱型全等； 3．特殊角處理策略 在解決有關線段或角度的問題，注意挖掘特殊角往往是解題的關鍵 (1) 認識特殊角： 初中常見的特殊角有: 30°,45°,60°,90°,120°,135°150°及15°、22.5°、75°等； 溫馨提示： ①鈍角的特殊角處理時,常轉化為銳角的特殊角，一是考慮該角的鄰補角轉化為銳角，二是利用垂直，即減90°轉化為銳角，然後構造直角三角形； ②15°處理方法：考慮倍角，構造含30°角的直角三角形； ③22.5°處理方法：考慮倍角，構造等腰直角三角形； ④75°處理方法：常分割為30°和45°的直角三角形. （2）與特殊角有關的常用結論 ①30°和60°直角三角形：含30°角直角三角形三邊的比為：1： ：2； ②45°直角三角形：等腰直角三角形三邊的比為：1:1： . （3）特殊角的處理策略 特殊角通常放在直角三角形中進行處理，也就是利用特殊角構造直角三角形，進一步 ①借助 三角函數或邊的關系 轉化計算求線段長度； ②對直角進一步處理，可利用直角構造“一線三直角”處理； 溫馨提示： ①構造直角三角形（即作高），不能破壞特殊角； ②當一個三角形有兩個不同的特殊角，常過非特殊角的頂點作高. 4．分類讨論思想 河南中考數學中， 分類讨論思想 可能分布于： 10題：動點與函數圖象問題，涉及分段函數； 15題：動點與折疊，涉及點的位置不确定或圖形不确定，雙答案； 18題：特殊四邊形動點探究題，涉及特殊四邊形不确定； 21題：應用題中涉及分段求函數解析式或确定哪種方式合算； 22題：①新函數探究題中，如等腰三角形存在性問題，直角三角形存在性問題等； ②函數的性質應用題. 23題：幾何探究題涉及位置不确定性（對偶性答案）.