模型系列：角含半角模型
半角模型
已知如圖：①2∠2=∠AOB；②OA=OB.
連接FB，将△FOB繞點O旋轉至△FOA的位置，連接F′E，FE，
可得△OEF≌△OEF′
模型分析
∵△OBF≌△OAF′，
∴∠3=∠4，OF=OF′.
∴∠2=∠AOB，
∴∠1+∠3=∠2
∴∠1+∠4=∠2
又∵OE是公共邊，
∴△OEF≌△OEF′.
（1）半角模型的命名：存在兩個角度是一半關系，并且這兩個角共頂點；
（2）通過先旋轉全等再軸對稱全等，一般結論是證明線段和差關系；
（3）常見的半角模型是90°含45°，120°含60°.
模型實例
例1已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，它的兩邊分别交線段CB、DC于點M、N．
（1）求證：BM+DN=MN．
（2）作AH⊥MN于點H，求證：AH=AB．
證明：（1）延長ND到E，使DE=BM，
∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=AB．
在△ADE和△ABM中，
∴△ADE≌△ABM．
∴AE=AM，∠DAE=∠BAM
∵∠MAN=45°，∴∠BAM+∠NAD=45°．
∴∠MAN=∠EAN=45°．
在△AMN和△AEN中，
∴△AMN≌△AEN．
∴MN=EN．
∴BM+DN=DE+DN=EN=MN．
（2）由（1）知，△AMN≌△AEN．
∴S△AMN=S△AEN．
即．
又∵MN=EN，
∴AH=AD．
即AH=AB．
例2 在等邊△ABC的兩邊AB、AC上分别有兩點M、N，D為△ABC外一點，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC．探究：當M、N分别在線段AB、AC上移動時，BM、NC、MN之間的數量關系．
（1）如圖①，當DM=DN時，BM、NC、MN之間的數量關系是_______________；
（2）如圖②，當DM≠DN時，猜想（1）問的結論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明．
圖①圖②
解答
（1）BM、NC、MN之間的數量關系是BM+NC=MN．
（2）猜想：BM+NC=MN．
證明：如圖③，延長AC至E，使CE=BM，連接DE．
∵BD=CD，且∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠DCB=30°．
又∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°．
∴∠MBD=∠NCD=90°．
在△MBD與△ECD中，
∵DB=DC，∠DBM=∠DCE=90°，BM=CE，
∴△MBD≌△ECD（SAS）．
∴DM=DE，∠BDM=∠CDE．
∴∠EDN=∠BDC-∠MDN=60°．
在△MDN和△EDN中，
∵MD=ED，∠MDN=∠EDN=60°，DN=DN，
∴△MDN≌△EDN（SAS）．
∴MN=NE=NC+CE=NC+BM．
圖③
例3 如圖，在四邊形ABCD中，∠B+∠ADC=180°，AB=AD，E、F分别是BC、CD延長線上的點，且∠EAF=∠BAD．求證：EF=BE-FD．
證明：在BE上截取BG，使BG=DF，連接AG．
∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，
∴∠B=∠ADF．
在△ABG和△ADF中，
∴△ABG ≌△ADF（SAS）．
∴∠BAG=∠DAF，AG=AF．
∴∠GAF=∠BAD．
∴∠EAF=∠BAD=∠GAF．
∴∠GAE=∠EAF．
在△AEG和△AEF中，
∴△AEG ≌△AEF（SAS）．
∴EG=EF．
∵EG=BE-BG，
∴EF=BE-FD．
跟蹤練習：
1．已知，正方形ABCD，M在CB延長線上，N在DC延長線上，∠MAN=45°．
求證：MN=DN-BM．
【答案】
證明：如圖，在DN上截取DE=MB，連接AE，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠D=∠ABC=90°．
在△ABM和△ADE中，
∴△ABM≌△ADE．
∴AM=AE， ∠MAB=∠EAD ．
∵∠MAN=45°=∠MAB+∠BAN，
∴∠DAE+∠BAN=45°．
∴∠EAN=90°-45°=45°=∠MAN．
在△AMN和△AEN中，
∴△ABM≌△ADE．
∴MN=EN．
∵DN-DE=EN．
∴DN-BM=MN．
2．已知，如圖①在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D、E分别為線段BC上兩動
點，若∠DAE=45°，探究線段BD、DE、EC三條線段之間的數量關系．
小明的思路是：把△AEC繞點A順時針旋轉90°，得到△ABE′，連接E′D使問題得到解
決．請你參考小明的思路探究并解決以下問題：
（1）猜想BD、DE、EC三條線段之間的數量關系式，并對你的猜想給予證明；
（2）當動點E在線段BC上，動點D運動到線段CB延長線上時，如圖②，其他條件不變，（1）中探究的結論是否發生改變？請說明你的猜想并給予證明．
【答案】
解答：（1）猜想：DE2=BD2+EC2．
證明：将△AEC繞點A順時針旋轉90°得到△ABE′，如圖①
∴△ACE≌△ABE′．
∴BE′=EC，AE′=AE，∠C=∠ABE′，∠EAC=∠E′AB．
在Rt△ABC中，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°．
∴∠ABC+∠ABE′=90°，即∠E′BD=90°．
∴E′B2+BD2=E′D2．
又∵∠DAE=45°，
∴∠BAD+∠EAC=45°．
∴∠E′AB+∠BAD=45°，即∠E′AD=45°．
∴△AE′D≌△AED．
∴DE=DE′．
∴DE2=BD2+EC2．
（2）結論：關系式DE2=BD2+EC2仍然成立．
證明：作∠FAD=∠BAD，且截取AF=AB，連接DF，連接FE，如圖②
∴△AFD≌△ABD．
∴FD=DB，∠AFD=∠ABD．
又∵AB=AC，
∴AF=AC．
∵∠FAE=∠FAD+∠DAE=∠FAD+45°，
∠EAC=∠BAC-∠BAE=90°-（∠DAE-∠DAB ）=90°-（45°-∠DAB）=45°+∠DAB，
∴∠FAE=∠CAE．
又∵AE=AE，
∴△AFE≌△ACE．
∴FE=EC，∠AFE=∠ACE=45°．
∠AFD=∠ABD=180°-∠ABC=135°．
∴∠DFE=∠AFD-∠AFE=135°-45°=90°．
在Rt△DFE中，DF2+FE2=DE2．
即DE2=BD2+EC2．
3．已知，在等邊△ABC中，點O是邊AC、BC的垂直平分線的交點，M、N分别在直線
AC、BC上，且∠MON=60°．
（1）如圖①，當CM=CN時，M、N分别在邊AC、BC上時，請寫出AM、CN、MN三
者之間的數量關系；
（2）如圖②，當CM≠CN時，M、N分别在邊AC、BC上時，（1）中的結論是否仍然
成立？若成立，請你加以證明；若不成立，請說明理由；
（3）如圖③，當點M在邊AC上，點N在BC的延長線上時，請直接寫出線段AM、CN、
MN三者之間的數量關系．
【答案】
結論：（1）AM=CN+MN；如圖①
圖①
（2）成立；
證明：如圖②，在AC上截取AE=CN，連接OE、OA、OC．
∵O是邊AC、BC垂直平分線的交點，且△ABC為等邊三角形，
∴OA=OC，∠OAE=∠OCN=30°，∠AOC=120°．
又∵AE=CN，
∴△OAE≌△OCN．
∴OE=ON，∠AOE=∠CON．
∴∠EON=∠AOC=120°．
∵∠MON=60°，
∴∠MOE=∠MON=60°．
∴△MOE≌△MON．
∴ME=MN．
∴AM=AE+ME=CN+MN．
圖②
（3）如圖③，AM=MN-CN．
圖③
4．如圖，在四邊形ABCD中，∠B+∠D=180°，AB=AD，E、F分别是線段BC、CD上的
點，且BE+FD=EF．求證：∠EAF=∠BAD．
【答案】
證明：如圖，把△ADF繞點A順時針旋轉∠DAB的度數得到△ABG，AD旋轉到AB，AF旋轉到AG，
∴AG=AF，BG=DF，∠ABG=∠D，∠BAG=∠DAF．
∵∠ABC+∠D=180°，
∴∠ABC+∠ABG=180°．
∴點G、B、C共線．
∵BE+FD=EF，
∴BE+BG=GE=EF．
在△AEG和△AEF中，
∴△AEG≌△AEF．
∴∠EAG=∠EAF．
∴∠EAB+∠BAG=∠EAF．
又∵∠BAG=∠DAF，
∴∠EAB+∠DAF=∠EAF．
∴∠EAF=∠BAD．
5．如圖①，已知四邊形ABCD，∠EAF的兩邊分别與DC的延長線交于點F，與CB的延長線交于點E，連接EF．
（1）若四邊形ABCD為正方形，當∠EAF＝45°時，EF與DF、BE之間有怎樣的數量關系？（隻需直接寫出結論）
（2）如圖②，如果四邊形ABCD中，AB＝AD，∠ABC與∠ADC互補，當∠EAF＝∠BAD時，EF與DF、BE之間有怎樣的數量關系？請寫出結論并證明．
（3）在（2）中，若BC＝4，DC＝7，CF＝2，求△CEF的周長（直接寫出結論）
解答：
（1）EF=DF-BE
（2）EF=DF-BE
證明：如圖，在DF上截取DM=BE，連接AM，
∵∠D+∠ABC=∠ABE+∠ABC=180°
∵D=ABE
∵AD=AB
在△ADM和△ABE中，
∴△ADM≌△ABE
∴AM=AE，∠DAM=∠BAE
∵∠EAF=∠BAE+∠BAF=∠BAD，
∴∠DAM+∠BAF=∠BAD
∴∠MAF=∠BAD
∴∠EAF=∠MAF
在△EAF和△MAF中
∴△EAF≌△MAF
∴EF=MF
∵MF=DF-DM=DF-BE，
∴EF=DF-BE
（3）∵EF=DF-BE
∴△CEF的周長=CE+EF+FC=BC+BE+DC+CF-BE+CF
=BC+CD+2CF=15
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