人教版數學九年級上冊第二十三章測試卷 (2)
人教版數學九年級上冊第二十三章達标測試卷
一、選擇題(每題3分，共30分)
1．下列A，B，C，D四幅圖案中，能通過将圖案(1)順時針旋轉180°得到的是( )
2．下列标志既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是( )
3．正六邊形繞其中心旋轉一定角度後，與自身重合，旋轉角至少為( )
A．30° B．60° C．120° D．180°
4．如圖，△OAB繞點O逆時針旋轉75°到△OCD的位置，已知∠AOB＝40°，則∠AOD等于( )
A．55° B．45° C．40° D．35°
5．如圖，△ABC繞着點O按順時針方向旋轉90°後到達了△CDE的位置，下列說法中不正确的是( )
A．線段AB與線段CD互相垂直 B．線段AC與線段CE互相垂直
C．點A與點E是兩個三角形的對應點 D．線段BC與線段DE互相垂直
6．在如圖所示的方格紙中，将标有序号的小正方形中的一個塗上陰影，使它與圖中陰影部分組成的新圖形是中心對稱圖形，該小正方形的序号是( )
A．① B．② C．③ D．④
7．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC繞點A逆時針旋轉，使點C落在線段AB上的點E處，點B落在點D處，則B，D兩點間的距離為( )A.
B．2
C．3
D．2
8．如圖，在平面直角坐标系中，點B，C，E在y軸上，Rt△ABC經過變換得到Rt△ODE.若點C的坐标為(0，1)，AC＝2，則這種變換可以是( )
A．△ABC繞點C順時針旋轉90°，再向下平移3個單位長度
B．△ABC繞點C順時針旋轉90°，再向下平移1個單位長度
C．△ABC繞點C逆時針旋轉90°，再向下平移1個單位長度
D．△ABC繞點C逆時針旋轉90°，再向下平移3個單位長度
9．如圖，直線y＝x＋與y軸交于點P，将它繞着點P旋轉90°所得的直線對應的函數解析式為( )
A．y＝x＋ B．y＝－x＋ C．y＝x＋ D．y＝－x＋
10．如圖，将斜邊長為4的直角三角闆放在直角坐标系xOy中，兩條直角邊分别與坐标軸重合，P為斜邊的中點，現将此三角闆繞點O順時針旋轉120°後，點P的對應點的坐标是( )
A．(，1) B．(1，－) C．(2，－2) D．(2，－2)
二、填空題(每題3分，共30分)
11．請寫出一個是中心對稱圖形的幾何圖形的名稱：__________________．
12．如圖，将△AOB繞點O按逆時針方向旋轉45°後得到△COD.若∠AOB＝15°，則∠AOD的度數是________．
13．在平面直角坐标系中，若點P(m，m－n)與點Q(－2，3)關于原點對稱，則點M(m，n)在第________象限．
14．如圖，将△OAB繞着點O逆時針連續旋轉兩次得到△OA″B″，每次旋轉的角度都是50°.若∠B″OA＝120°，則∠AOB＝________．
15．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4 cm.若以AC的中點O為旋轉中心，将這個三角形旋轉180°後，點B落在B′處，則BB′＝________cm.
16．已知點P(3，1－b)關于原點的對稱點Q的坐标是(a，－1)，則ab的值是________．
17．如圖，已知抛物線C1，抛物線C2關于原點中心對稱．如果抛物線C1的解析式為y＝(x＋2)2－1，那麼抛物線C2的解析式為____________________．
18．如圖，直線y＝－x＋3與x軸，y軸分别交于A，B兩點，把△AOB繞點A旋轉90°後得到△AO′B′，則點B′的坐标是____________．
19．如圖，邊長為1的正方形ABCD繞點A逆時針旋轉30°到正方形AB′C′D′的位置，則圖中陰影部分的面積為________．
20．如圖，在平面直角坐标系中，将△ABO繞點A順時針旋轉到△AB1C1的位置，點B，O分别落在點B1，C1處，點B1在x軸上，再将△AB1C1繞着B1順時針旋轉到△A1B1C2的位置，點C2在x軸上，将△A1B1C2繞點C2順時針旋轉到△A2B2C2的位置，點A2在x軸上，依次進行下去……若點A，B(0，2)，則點B2 022的坐标為________．
三、解答題(21，22題每題8分，23，24題每題10分，25，26題每題12分，共60分)
21．如圖，AC是正方形ABCD的對角線，△ABC經過旋轉後到達△AEF的位置．
(1)指出它的旋轉中心；
(2)說出它的旋轉方向和旋轉角是多少度；
(3)分别寫出點A，B，C的對應點．
22．在下面的網格圖中，每個小正方形的邊長均為1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4.(1)試在圖中作出△ABC以點A為旋轉中心，按順時針方向旋轉90°後得到的△AB1C1；
(2)若點B的坐标為(－3，5)，試在圖中畫出直角坐标系，并寫出A，C兩點的坐标；
(3)根據(2)中的直角坐标系作出與△ABC關于原點對稱的△A2B2C2，并寫出B2，C2兩點的坐标．
23．如圖，P是等邊三角形ABC内一點，且PA＝6，PB＝8，PC＝10.若将△PAC繞點A逆時針旋轉後得到△P′AB.
(1)求點P與點P′之間的距離；
(2)求∠APB的度數．
24．如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝BC，将等腰三角形ABC繞頂點B按逆時針方向旋轉角α到△A1BC1的位置，AB與A1C1相交于點D，AC與A1C1，BC1分别交于點E，F.
(1)求證：△BCF≌△BA1D；
(2)當∠C＝α時，判定四邊形A1BCE的形狀并說明理由．
25．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α(0°＜α＜60°)，将線段BC繞點B逆時針旋轉60°得到線段BD.
(1)如圖①，直接寫出∠ABD的大小；(用含α的式子表示)
(2)如圖②，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，判斷△ABE的形狀并加以證明；
(3)在(2)的條件下，連接DE，若∠DEC＝45°，求α的值．
26．已知∠DAC＝90°，△ABC是等邊三角形，點P為射線AD上任意一點(點P不與點A重合)，連接CP，将線段CP繞點C順時針旋轉60°得到線段CQ，連接QB并延長交直線AD于點E.
(1)如圖①，猜想∠QEP＝________°；
(2)如圖②和圖③，若當∠DAC是銳角或鈍角時，其他條件不變，猜想∠QEP的度數，并選取一種情況加以證明；
(3)如圖③，若∠DAC＝135°，∠ACP＝15°，且AC＝4，求BQ的長．
答案
一、1．B 2．A 3．B 4．D 5．C 6．B
7．A 8．A 9．B 10．B
二、11．平行四邊形(答案不唯一)
12．60°
13．一 14.20° 15.4
16．1 17．y＝－(x－2)2＋1
18．(5，2)或(－1，－2)
19．1－ 20．(6 066，2)
三、21．解：(1)它的旋轉中心為點A.
(2)它的旋轉方向為逆時針方向，旋轉角是45度．(答案不唯一)
(3)點A，B，C的對應點分别為點A，E，F.
22．解：(1)△AB1C1如圖所示．
(2)直角坐标系如圖所示，點A的坐标為(0，1)，點C的坐标為(－3，1)．
(3)△A2B2C2如圖所示，點B2的坐标為(3，－5)，點C2的坐标為(3，－1)．
23．解：(1)連接PP′.由旋轉的性質知AP′＝AP＝6，∠P′AB＝∠PAC，
∴∠P′AP＝∠BAC＝60°.
∴△P′AP是等邊三角形．
∴PP′＝PA＝6.
(2)∵P′B＝PC＝10，PB＝8，PP′＝6，
∴P′B2＝P′P2＋PB2.
∴△P′PB為直角三角形，且∠P′PB＝90°.
由(1)知△P′AP是等邊三角形，
∴∠APP′＝60°.
∴∠APB＝∠P′PB＋∠P′PA＝90°＋60°＝150°.
24．(1)證明：∵AB＝BC，∴∠A＝∠C.∵将等腰三角形ABC繞頂點B按逆時針方向旋轉角α到△A1BC1的位置，∴A1B＝AB＝BC，∠A1＝∠A＝∠C，
∠A1BD＝∠CBF.
在△BCF與△BA1D中，
∴△BCF≌△BA1D.
(2)解：四邊形A1BCE是菱形．理由：由題意知，∠A1BD＝α.∵∠A1＝∠A，∠ADE＝∠A1DB，∴∠AED＝∠A1BD＝α.∴∠DEC＝180°－α.∵∠C＝α，∴∠A1＝α.∴∠A1BC＝360°－∠A1－∠C－∠A1EC＝180°－α.∴∠A1BC＝∠A1EC.又∵∠A1＝∠C，∴四邊形A1BCE是平行四邊形．又∵A1B＝BC，∴四邊形A1BCE是菱形．
25．解：(1)∠ABD＝30°－α.
(2)△ABE為等邊三角形．證明如下：連接AD，CD，
∵線段BC繞點B逆時針旋轉60°得到線段BD，∴BC＝BD，∠DBC＝60°，∴△BCD為等邊三角形．∴BD＝CD.又∵AB＝AC，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD(SSS)．∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝α.
∵∠ABE＝∠DBC＝60°，∴∠EBC＝∠ABD＝30°－α.又∵∠BCE＝150°，∴∠BEC＝180°－－150°＝α.∴∠BAD＝∠BEC.又BC＝BD，
∴△EBC≌△ABD(AAS)．∴AB＝BE.
又∵∠ABE＝60°，∴△ABE為等邊三角形．
(3)∵∠BCD＝60°，∠BCE＝150°，∴∠DCE＝150°－60°＝90°.∵∠DEC＝45°，∴△DCE為等腰直角三角形，∴CE＝DC＝BC.∴∠EBC＝∠BEC.∵
∠BCE＝150°，∴∠EBC＝＝15°.∴30°－α＝15°.∴α＝30°.
26．解：(1)60
點撥：如圖①，連接PQ.設QE與PC交于點M.
∵線段CP繞點C順時針旋轉60°得到線段CQ，∴PC＝CQ，∠PCQ＝60°，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝60°，BC＝AC，
∴∠PCQ＝∠ACB，
∴∠PCQ－∠PCB＝∠ACB－∠PCB，即∠BCQ＝∠ACP.
在△CQB和△CPA中，
∴△CQB≌△CPA，
∴∠CQB＝∠CPA.
又∵在△PEM和△CQM中，
∠EMP＝∠CMQ，
∴∠QEP＝∠QCP＝60°.
(2)∠QEP＝60°.
以∠DAC是銳角為例進行證明．
證明如下：如圖②，易知CP＝CQ，∠PCQ＝60°，∵△ABC是等邊三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝60°，
∴∠ACB＋∠BCP＝∠BCP＋∠PCQ，
即∠ACP＝∠BCQ.
在△CQB和△CPA中，
∴△CQB≌△CPA，∴∠Q＝∠CPA.
∵∠1＝∠2，
∴∠QEP＝∠QCP＝60°.
(3)如圖③，過點C作CH⊥AD交射線AD的反向延長線于點H，
易證△CQB≌△CPA，
∴BQ＝AP.
∵∠DAC＝135°，∠ACP＝15°，
∴∠APC＝30°，∠CAH＝45°，
∴△ACH為等腰直角三角形，
∴AH＝CH＝AC＝×4＝2.
∵∠CPH＝30°，∴CP＝2CH＝4.
由勾股定理可得，PH＝＝＝2，
∴PA＝PH－AH＝2－2，
∴BQ＝2－2.
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