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概率統計簡史 : 分賭本問題與概率論的起源

概率統計簡史(1):分賭本問題與概率論的起源

帕斯卡 費馬惠更斯

概率論起源于博弈問題。

1654年,職業賭徒德·梅累向法國數學家帕斯卡(B.Pascal,1623-1662)提出一個使他苦惱很久的分賭本問題:甲、乙兩賭徒賭技相同,各出賭注50法郎,每局中無平局。他們約定,誰先赢三局則得到全部100法郎的賭本。當甲赢了兩局,乙赢了一局時,因故要中止賭博。現問這100法郎如何分才算公平?

帕斯卡與另一位法國數學家費馬(Fermat, 1601~1665)在一系列通信中就這一問題展開了讨論。事實上,很容易設想出以下兩種分法:(1)甲得100·(1/2) 法郎,乙得100·(1/2) 法郎;(2)甲得100·(2/3) 法郎,乙得100·(1/3) 法郎。

第一種分法考慮到甲、乙兩人賭技相同,就平均分配,沒有照顧到甲已經比乙多赢一局這一個現實,對甲顯然是不公平的。第二種分法不但照顧到了“甲乙賭技相同”這一前提,還尊重了已經進行的三局比賽結果,當然更公平一些。但是,第二種分法還是沒有考慮到如果繼續比下去的話會出現什麼情形,即沒有照顧兩人在現有基礎上對比賽結果的一種期待。

那麼,這更合理的第三種分法又該怎樣分呢?

試想,假如能繼續比下去的話,至多再有兩局必可結束。若接下來的第四局甲勝(概率為1/2),則甲赢得所有賭注;若乙勝,還要再比第五局,當且僅當甲勝這一局時,甲赢得所有賭注(這兩局出現此種情形的概率為(1/2)·(1/2)=1/4)。若設甲的最終所得為X,則

P(X=100)=1/2+1/4=3/4

于是,X的分布律為

X

0

100

p

1/4

3/4

從而甲的“期望” 所得應為0·(1/4)+100·(3/4)=75 法郎;乙的“期望”所得應為100-75=25法郎。這種方法照顧到了已賭結果,又包括了再賭下去的一種“期望”,它自然比前兩種方法都更為合理,使甲乙雙方都樂于接受。

這就是“數學期望”這個名稱的由來,其實這個名稱改為“均值”會更形象易懂一些,對上例而言,也就是再賭下去的話,甲“平均”可以赢75法郎。

後來,帕斯卡和費馬的通信引起了荷蘭數學家惠更斯(C.Huygens,1629-1695)的興趣,後者在1657年發表的《論賭博中的計算》是最早的概率論著作。這些數學家的著述中所出現的第一批概率論概念(如數學期望)與定理(如概率加法、乘法定理)标志着概率論的誕生。


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