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《算術與幾何的妙趣》無窮與不可能

在一幅圖畫中展現無窮的不可能圖形,看起來可能有些無聊。然而,這卻能産生令人困惑的圖像,讓眼睛面臨艱巨的考驗。

如果物質世界裡不存在無窮,既沒有無窮大也沒有無窮小,那麼任何的無窮圖形都将不存在。兩條鐵軌在地平線相交的景象,“科赫雪花”在任意尺度截取的輪廓,隻會是近似描繪現實世界中缺失的數學無窮結構——對無窮的任何圖形描述都會是幻想。

然而,物理學與宇宙學都沒能确定地回答無窮是否實際存在。這個問題或許壓根就不屬于科學領域。若我們假設無窮在物理上是存在的,比如,因為空間本身并不是有界的或者封閉的(與球體表面相反),那麼兩條平行鐵軌在無窮遠相交便是可能發生的情景。

目前,我們仍然對最終的物質現實和物理上的無窮一無所知,因此,數學無窮結構的表現形式算不上荒謬。于是,我們可以放手設計一些抽象物體,它們除了具有無窮的屬性,還因自身結構而成為不可能。

看到這兒,無窮似乎是一個無緣無故的數學遊戲。然而近來,若幹研究貢獻使無窮不可能這門藝術變得更加有趣。這才是本章的主題。

最初,創造無窮不可能圖形需要從有限不可能圖形開始,例如潘洛斯三角形(不在同一平面的三條邊看起來相連,構成一個不可能三角形),将其各部分相連,并規律地填滿紙面上的空間,賦予圖畫表面上的一緻性。(讓·保羅·德拉耶)

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