吳樹仙：哥德爾定理與邏輯認知進化 ​

哥德爾定理與邏輯認知進化

吳樹仙

（國家納米科學中心）

哥德爾定理是20世紀現代邏輯科學的三大成果之一, 在自然和人文社會科學領域被廣泛引用和闡述。其所揭示的不完全性, 不僅存在于數學或邏輯系統之中, 而且普遍存在于人類使用的語言符号之中。此後, 邏輯理論和分析方法發生了重大變革, 影響了西方哲學的發展形态。從進化與辯證的角度來看, 哥德爾定理不應該被絕對化, 人類認知是不斷發展的過程;在科學實踐中, 系統不斷通過邏輯進化來解決問題, 理性邏輯思維與直覺思維是辯證統一的。

“理性永遠存在, 但它并不永遠存在于理性的形式之中。”

——卡爾·馬克思

哥德爾 (Kurt Gödel) 一生證明了兩個重要的定理。一個是1930年證明的一階邏輯的完全性定理, 另一個是1931年證明的形式算術系統的不完全性定理。在被稱為“20 世紀最有意義的數學真理”當中, 最有震撼力的是不完全性定理, 後來它就被簡稱為哥德爾定理。這一理論不僅改變了數學, 而且改變了整個科學世界和建築于此定理之上的哲學, 更是現代邏輯史上很重要的一座裡程碑。它與塔斯基 (Tarskey) 的形式語言的真理論, 圖靈機和判定問題, 被贊譽為現代邏輯科學在哲學方面的三大成果 [ 1 ] 。

哥德爾定理誕生60多年來, 人們對它的思考和讨論就沒有停止過。著名物理學家弗裡曼·戴森 (Freeman Dyson) 曾引用哥德爾定理來駁斥萬有理論;史蒂芬·霍金 (Stephen Hawking) 也在題為“哥德爾和物理學的終結”的演講中闡述了哥德爾定理與物理學的關系。他說:“根據科學的實證哲學, 一個物理學定理是一個數學模型。如果存在不可證的數學結果, 也就存在不可預測的物理學問題” [ 2 ] 。哥德爾定理還廣泛地被哲學家、社會學家、語言學家、邏輯學家、計算機和人工智能專家等等各領域的人用來作為他們有限論或無限論、可知論或懷疑論、悲觀主義或樂觀主義的理論依據。這在科學發展史上是非常少見的。哥德爾定理粉碎了邏輯最終将使我們理解整個世界的夢想, 其所揭示的不完全性, 不是僅存在于一個數學或邏輯系統之中, 而是普遍存在于人類使用的語言符号之中。這是人類認知無法逾越的障礙, 還是我們對該定理的誤解和濫用?什麼是理性思維的界限?哥德爾以後, 人們不得不重新思考數學、邏輯學和哲學的語言基礎問題。邏輯理論和分析方法發生了重大變革, 從而影響了西方哲學的發展形态。筆者通過課程學習和相關文獻考察, 認為哥德爾定理并未制約人類理性認知的發展, 而是更新了人們進行科學研究的方法和觀念, 邏輯認知系統不斷進化來克服現存的問題;該定理所揭示的是“絕對真理”和“相對真理”的關系, 與物理學的相對論有異曲同工之妙, 本文欲從進化與辯證的角度探讨上述富有挑戰性的問題。

一、哥德爾定理的産生及其哲學意義

(1) 背景-希爾伯特方案

20世紀20年代, 在集合論不斷發展的基礎上, 德國大數學家希爾伯特向全世界的數學家提出了一個宏偉計劃, 要建立一組公理體系, 使一切數學命題原則上都可由此經有限步推定真僞, 即公理體系的“完備性”;他還要求公理體系保持“無矛盾性” (即相容性, 公理和公理之間不能是自相矛盾的) 。數學作為一門演繹的科學, 它的确定性幾乎與邏輯的确定性等價。但非歐幾何的誕生以及它與歐幾裡德幾何的相對一緻性, 尤其是集合論悖論的發現, 使數學家必須去證明已有的各個數學系統的絕對一緻性。這樣, 我們才可以找到知識确定性的的基礎。這就是希爾伯特方案。

值得指出的是, 希爾伯特所說的公理不是我們通常認為的公理, 而是經過了徹底的形式化。所謂形式化就是隻考慮符号的種類, 符号的排列以及從符号序列到符号序列的變形而不考慮它們的意義的一種方法。一個形式系統通常由幾部分組成: (1) 各種初始符号, 它們是系統的字母表; (2) 形成規則, 它們規定哪些符号序列是合式的, 合式的符序列稱為合式公式; (3) 公理, 它們是被挑選出來的一些合式公式, 作為系統推演的出發點; (4) 變形規則, 它們明确規定一個合式公式怎樣可以變換為另一個合式公式。形式系統就是這樣一個抽象的“無意義”的框架。

于是, 在一個形式系統内, 數學的可證性成為一個技術上可操作的概念。所謂證明就是有窮多個符号序列, 其中每一個符号列或者是一條公理, 或者是從先行的符号序列應用變形規則得到的, 最後一個符号序列被稱為定理。全部定理構成了一個系統内可證的命題。一個形式系統還必須滿足一個基本要求, 即要能在有窮步驟内根據已給定的機械方法判定一個符号序列是否為合式公式;一個合式公式是否為一公理;一個有窮長的合式公式序列是否為一證明。因此, 希爾伯方案以形式系統為出發點, 把數學對象與形式系統的符号串相匹配, 企圖發現一個沒有内在矛盾的并且其定理完全符合于全部算術的真事實的形式系統。如果解決了算術形式系統的一緻性問題, 也就解決了整體數學的一緻性問題。

然而, 1931年, 當哥德爾遵循希爾伯特方案試圖證明形式算術系統的一緻性時, 卻得到了意想不到的結果。這便是聞名于世的哥德爾不完全性定理。

(2) 哥德爾定理的内容及哲學基礎

在那篇著名的論文“論《數學原理》和相關系統I中的形式不可判定命題” (über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I) “中, 哥德爾提出和證明了不完全性定理 [ 3 ] 。實際上, 哥德爾證明了兩個不完全性定理:第一, 一個不弱于初等數論的形式系統S, 如果一緻, 則不完全;第二, 這樣的形式系統如果一緻, 則這種一緻性在系統内不可證。第二定理也可以作為第一定理的直接推論。不完全的意義是, 在該系統的語言中存在這樣一個陳述, 它在該系統中既不能被證明, 也不能被證僞。這樣的陳述被稱為在該系統中是不可判定的。

所謂初等數論形式系統, 是指用形式化方法構造的算術公理系統 (簡稱算術系統) 。它有三個層面:語法、語義和元理論 (稱為元數學) 。算術系統是一緻的, 是指不存在公式A , A 和⇁A ( A 的否定) 都可證。算術系統是完全的, 是指不存在公式A , A 和⇁A 都不可證。哥德爾證明:任何無矛盾的公理體系, 隻要包含初等算術的陳述, 則必定存在一個不可判定命題, 用這組公理不能在有限步内判定其真假。也就是說, “無矛盾”和“完備”是不能同時滿足的! (具體證明過程見 [ 3 ]

理解哥德爾不完全性定理, 首先要弄清楚算術系統的兩個基本概念:“可證”和“真” [ 4 ] 。“可證”是語法概念。一個公式可證, 是指存在它的一個證明, 即存在以該公式結尾的一個公式序列, 其中每個公式或者是公理, 或者是依據規則得到的。判定一個公式是否可證, 不涉及任何涵義。“真”是個語義概念。一個公式真, 形式地說, 是指它經過語義解釋後确定為真;直觀地說, 是指它表達算術真理。因此, 一個公式可證與該公式真, 不能直接畫等号。值得注意的是, 哥德爾在證明過程中是區分了“真”和“可證”的, 這甚至早于塔爾斯基的T語句, 是他第一次将“真”與“可證”作為不同的概念來對待。他告訴我們, 可證的一定是真的, 但真的不一定可證。這種區分對以後的數理邏輯和哲學研究産生了重要的影響。 [ 5 ]

這裡不得不提到, 與哥德爾幾乎同時代的大哲學家維特根斯坦 (Ludwig Wittgenstein) 從“真”與“可證”的關系出發, 批判地表達了自己對哥德爾定理的看法。 [ 6 ] 他認為, “在羅素的系統中為真”即意味着“在羅素系統中可證”。對于維氏的評論, 學者們多持批評态度;近年來, 一些學者也為其評論尋找合理的解讀方式, 例如從直覺主義的數學觀出發理解維特根斯坦的評論, 認為維特根斯坦後期的數學觀是直覺主義的 [ 7 ] 。但這些卻似乎有開脫之嫌。看來, 維特根斯坦的評論并不合乎哥德爾本人的思想。哥德爾的“真”來自“數學直覺”。在哲學上哥德爾始終如一地堅持異常強硬的柏拉圖主義态度。如果沒有這種形而上學觀點, 他就不能以數學直覺為标尺度量形式化的完全性。在哥德爾看來, 數學中之所以存在不完全性是因為人們無法将所有的數學直覺形式化。因為一旦部分直覺被形式化了, 這種直覺又将成為新的直覺知識。簡言之, 哥德爾的不完全性指的是數學直覺和形式化之間的關系, 也即直覺思維與相對的理性思維的關系。

二、哥德爾定理與邏輯進化

在當時的經典邏輯的前提範圍内, 哥德爾定理揭示了其真理性是相對的, 形式化方法的應用是有限制的。但是, 它并未給出人類理性的界限, 并未否定形式化方法和邏輯學, 恰恰相反, 它極大地促進了現代邏輯學的發展。哥德爾定理的證明本身就說明, 形式化方法和演繹的運用仍然是有效的認知方式。

哥德爾不完全性定理使邏輯學發生了革命, 在它之後, 經典邏輯發生了重大的變革--在筆者看來是邏輯的進化 (雖然沒有見到有人正式提出這種說法) , 是邏輯學或者邏輯系統本身為了更加适應科學和哲學發展環境的進化, 并且, 在今天和将來的任一時間點上, 這種進化一直都在延續着。邏輯系統或邏輯理論的進化象是一棵分形學意義上的樹, 它不是一個線性擴張的序列, 它具有無窮性, 不确定性, 和複雜性的特征。每個邏輯系統是一個節點, 節點之間通過連線彼此相連。我們知道, 邏輯的基礎是語言。邏輯是建立在某一特殊語言上的關于認識模式和推理系統的理論體系。從這個意義上來說, 人類在進化, 語言在進化, 邏輯也在進化。因此, 邏輯的進化是兩個方面的力量交織作用的結果:來自環境要求的外部力量和其自身基礎的内部力量。過去一個多世紀以來, 西方哲學和邏輯學的發展經曆了從懷疑自然語言的适當性而試圖建立一種理想語言開始, 到對理想語言幻想的破滅, 後又重新回歸于自然語言這樣一條曲折發展和辯證回歸到道路。各種邏輯理論也不必再千篇一律地保持經典的形式。

邏輯的進化表現在兩個方面:擴充和變異。所謂經典邏輯的擴充 (extensions of classical logic) , 就是在經典邏輯的基礎上增加新的算子而得到的邏輯系統和邏輯理論, 如模态邏輯, 道義邏輯, 認識邏輯, 時間邏輯等等;所謂經典邏輯的變異 (alternative to classical logic) , 就是對經典邏輯中的一個或兩個前提提出挑戰, 改變它們或者抛棄他們, 從而得到新的邏輯系統和邏輯理論, 如多值邏輯, 直覺主義邏輯, 自由邏輯、相關邏輯, 非單調邏輯, 概率邏輯等等。經典邏輯加上它的擴張和變異所得到的邏輯理論合稱為基本邏輯 (basic logic) , 它是比一個經典邏輯範圍廣大得多的邏輯體系, 更重要的是, 與經典邏輯僅僅适用于數學分析不同, 基本邏輯更加适用于對數學以外的其他學科的分析。将基本邏輯應用于哲學的分析, 得到哲學邏輯;應用于語言的分析, 得到語言邏輯;應用于科學的分析, 得到科學邏輯, 包括量子邏輯, 生物學的邏輯、人工智能的邏輯等等 [ 8 ] 。

有學者提出一種進化邏輯系統 [ 9 ] , 是在人工智能心理學派研究的推動下誕生的一種科學進步和發展的動态模式。進化的邏輯由三個部分組成:1.選擇的邏輯或間接評價的邏輯;2.通過反複競争而進行的學習;3.遺傳發現的邏輯。進化的邏輯的核心是一種學習和發現的算法。最重要特征是把邏輯研究的重點從論證邏輯轉移到動态的發展邏輯, 使邏輯有可能反映知識增長的動态圖景。它用一種獨特的方式描述了知識增長的進程, 引進了優勝劣汰, 适者生存的選擇機制, 提出了既有繼承又有發展的遺傳算法, 是科學發展的邏輯。

20世紀70年代中期以後, 由于認知科學的誕生, 對邏輯學的研究又提出了新的要求。認知科學以體驗哲學為基礎, 以涉身心智為研究對象, 它對理性主義的邏輯學乃至近代以來整個西方的理性主義思想提出了挑戰。國内有學者提出建立認知邏輯的體系來适應科學技術特别是認知科學的發展 [ 10 ] 。認知科學由6個相關學科支撐:哲學、心理學、語言學、人類學、計算機科學、神經科學。與之相應, 認知邏輯的體系包括哲學邏輯、語言邏輯、心理邏輯、文化與進化的邏輯、人工智能的邏輯、腦與神經系統的邏輯。認知邏輯體現了回歸自然語言并基于經驗、非形式化和非演繹、反映認知的規律三大特征。它放棄作為思維立法者的企圖, 在語言基礎和研究方法上更多地關心人, 關心語言的使用者。其研究方法的特殊性在于, 它同時使用現代語言學和現代邏輯學的方法, 并将人的因素引入到邏輯理論之中, 建立起一種與語言的使用者有關的、而不是适用于一切人的邏輯理論。因此, 認知邏輯是一種展現認知科學特征的新的邏輯理論。

在變革的過程中, 有的邏輯系統雖然失去了一階邏輯的某些性質, 如緊緻性, 但是, 它們都越來越強大, 比起那些性質全面但推理能力很弱的系統要有用得多。實踐表明, 邏輯理論和邏輯系統具有很強的生命力, 它的發展與人類的認知發展是相輔相成的。

三、哥德爾定理與人工智能極限

馮·諾伊曼 (von Neumann) 受哥德爾編碼的啟發設計了世界第一台計算機。現代邏輯和形式化方法普遍應用在計算機科學的人工智能領域, 使其成為理性思維的代表。什麼是理性思維的界限?形式化能代表理性思維的全部嗎?由哥德爾定理所揭示的局限性自然就引起廣泛的争論。

1950 年圖靈在《計算機器與智能》中指出, 機器也能夠思維。這篇文章還隐含着“人心等價于一台計算機”的論斷。1961年美國哲學家魯卡斯提出著名的“魯卡斯論證”, 在《心、機器、 哥德爾》中, 試圖用哥德爾定理證明“人心超過計算機”的結論。1979年 《哥德爾、艾舍、巴赫, 一條永恒的金帶》一書, 試圖從多個視角闡明如何用哥德爾定理否證強人工智能方案。

哥德爾本人指出, 人工智能的極限不是哥德爾定理的直接推論, “從我的定理可以推出的結論隻能是如下形式的選言判斷:或者數學是不可完全的, 即它的自明的公理不可 能包含在有窮規則中, 因此人心超過有窮機器;或者存在人心絕對不可判定的數論問題”。哥德爾1931年曾經在一個重要腳注和給蔡梅羅的信中指出, “所有數學形式系統的内在不完全性的根源在于, 更高類型的形式化總能持續到超窮, ......因此, 這裡構造的不可判定命題在更高類型中将變成可判定的” [ 11 ] 。哥德爾的這一斷言為我們不斷突破低層形式系統的局限, 尋求更高類型形式系統模拟人類智能提供了豐富的空間。我們無法證明理性思維存在不可逾越的邏輯極限, 完全可以探索如何超越目前的圖靈機來模拟人類智能的新途徑。

“認知即是計算”, 這是認知科學的基本假設。目前人工智能領域也完全是在圖靈意義上的“認知可計算主義”的範式指導下工作。那麼, 是否可以采用某種新型的包含非古典邏輯的具有動态性質的形式系統, 在這種系統中哥德爾定理不成立呢?有些學者 (如物理學家霍金等) 認為, 哥德爾不完全性定理适用于非形式系統甚至一切科學理論。按照哥德爾定理, 無論我們構造出多麼複雜的理論, 它都有一個表述的形式系統, 但在這個系統内都有一個不可證的公式, 這個公式不能作為定理在該系統内被推導出來。但是這種形式化 (人類的理性認知形式) 的不能證明性, 是否就意味着認知本身的不可能和不正确呢?

哥德爾定理正是揭示了足夠大的理論不能被完全形式化, 因而人類不可能将其所有知識形式化, 總有某些知識在形式系統中是無法表達的。但是, 不能形式化并不意味着不正确, 不意味着不可知。理性并不永遠存在于形式化之中。我們仍然有其他方法判斷真理。邏輯的進化表現了人類智能的進化。人類的認知一直處于進化之中, 甚至哥德爾定理本身也是它的一個結果。縱觀科學發展史, 人類總是在不斷突破認知的限度。人工智能或人類智能的極限并不是絕對的, 在一個動态的發展過程中, 我們在每個階段所看到的極限都不相同。我們不能證明哪裡是思維無法把握之處, 如果可證, 那麼它就不是。

結語

通過以上分析可以看到, 正确看待哥德爾定理, 對于我們把握學術方向、堅持科學發展是非常重要的。邏輯認知是一種理性的實證思維方式。在具體的科學實踐當中, 理性思維與直覺思維總是互相補充、共同構成人類認知行為的。理性之花也需要直覺的土壤, 如果沒有哥德爾的直覺洞察力, 就不會産生哥德爾定理。科學研究的過程, 是一個起于直覺, 經由理性, 再到直覺, 再理性以至無窮的過程。該過程表明, 人類認知是一個直覺與理性辯證統一的過程。

在科學哲學中, 任何科學理論都是相對真理, 那麼, 哥德爾定理也不例外。從邏輯的觀點看, 哥德爾定理的成立是有條件的, 它不會在所有可能世界裡必然成立。我們不應該把它絕對化甚至濫用。哥德爾定理揭示了形式系統的局限性, 從而也揭示了人工智能和人類智能的局限性。但哥德爾定理并未制約人類理性認知的發展, 而是更新了人們進行科學研究的方法和觀念, 人類思維的上向性使理論系統不斷通過進化來克服現存的問題。從弗雷格到希爾伯特再到哥德爾, 人類在認知進化的艱難旅途上已走得那麼遙遠, 他們為人類建立了一種理性認知的模式, 其深遠意義至今還在影響着我們。

參考文獻

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[](4) 陳慕澤, 正确理解哥德爾不完全性定理, 湖南科技大學學報 (社會科學版) (J) , 2008.02.

(5) 唐方方, 哥德爾定理的意義 (D) , 清華大學碩士論文, 2005.

[](6) Wittgenstein, Ludwig., Remarks on the Foundations ofMathematics, Herausgegeben und Bearbeiter von G.H.von Wright[M].Oxford:Basil Blackwell, 1956.

[](7) 莊朝晖, 基于直覺主義對哥德爾定理的評論——從維特根斯坦的評論開始, 廈門大學學報 (哲學社會科學版) (M) , 2008.02.

[](8) 蔡曙山, 論形式化, 哲學研究 (J) , 2007.07.

[](9) 桂起權, 任曉明, 進化邏輯:科學發展的動态模式 (J) , 《哲學動态》2002.02.

[](10) 蔡曙山, 認知科學背景下的邏輯學 (J) , 《江海學刊》, 2004.06.

(11) 劉曉力, 人工智能的邏輯極限, 《哲學動态》 (J) , 2001, 增.

[](12) 董世鋒, 大直覺觀——理性與直覺的一種關系模式 (J) , 重慶社會科學, 2006.04.