數學節公益科普① | 硬核！古今數學家如何推算圓周率
編者按：
柯普甯說，當數學家導出方程式和公式，如同看到雕像、美麗的風景，聽到優美的曲調等等一樣而得到充分的快樂。南科大首屆數學文化節正在進行中，為傳播數學文化，普及數學知識，展示數學之美，打造學科與公益相融合的校園公益文化，基金會聯合數學系推出系列數學公益科普文章，以飨讀者。
圓周率的前世今生
撰文 | 付雲皓
古代數學
——圓周率的認識與估算
關于圓周率的定義有兩種，一種是周長的定義，即
或者，
一種是面積的定義，即
從古希臘、古中國、古印度等古代文明留下的文獻可以推斷出，這些古代文明都認為兩者是同樣的定義，即可以認為它們都知道這樣一個公式：
在古代文明中，随着對數學研究的深入，出現了要求得到圓周率的精确值或近似值的問題。如古希臘的三大幾何作圖問題中，圓化方問題是用尺規作圖作出一個與已知圓面積相等的正方形，實際上就是求的精确值的問題。
最早研究圓化方問題的是安納薩格拉斯（約前500-前428），公元前5世紀下半葉，開奧斯的希波克拉底解決了化圓為方（最初隻有等腰直角三角形的圖形，通過勾股定理/畢達哥拉斯定理可以推廣到任意兩個月牙的情況）。
化圓為方
如圖，由勾股定理
故以AB為直徑的半圓面積等于分别以AC、CB為直徑的兩個半圓的面積之和。去掉公共部分後，即得到兩塊綠色的月牙型圖形面積之和等于三角形ABC的面積。
詭辯學派的代表人物安提豐（約公元前480-前411）首先提出了用圓内接正多邊形的面積來逼近圓面積的方法，用正4，8，16，……邊形來逼近圓，而正多邊形化方是可以通過尺規作圖來實現的。雖然這實際上并沒有解決圓化方問題，但是他使用的這一“窮竭法”後來被阿基米德（公元前287-前212）等人發揚光大，解決了求球體體積等一系列問題。安提豐也因此成為窮竭法的始祖。
考慮一個半徑為r的圓，我們需要找到一個與這個圓面積相同的矩形，即需要找到a使得
這裡可以把a看成r和πr的比例中項，當然也可以直接想法求π的開平方。事實上，古希臘人早就掌握了求比例中項（或開平方）的幾何做法，具體方法是考慮直角三角形即可。
如下圖所示
用幾何法求π的開平方值
如果AD=πr，BD=r，先作AB中點O，然後以O為圓心，OA為半徑作圓，與過D且垂直于AB的直線交于點C，由射影定理即得
如果π是一個有理數，那麼能夠通過作圖做出πr，那麼得到a也是沒有問題的了。即便π是無理數，假如π形如
或者
也是可以作出的。不過，1882年德國數學家林德爾曼證明了π是超越數（即不是任何整系數代數方程的根），而另一方面，前人已經證明尺規作圖能得到的所有長度之間的比值都必須是代數數（即是某個整系數代數方程的根），這樣就對圓化方問題給出了否定的答案。
古印度的《繩法經》中，遇到将圓轉化為等面積的正方形時，使用的數據是正方形的邊長為圓直徑的8/9或者
即認為
或者
在中國古代，從《九章算術》開始就有了對圓周率的近似值。
術曰：半周半徑相乘得積步。
又術曰：周徑相乘，四而一。
又術曰：徑自相乘，三之，四而一。
又術曰：周自相乘，十二而一。
劉徽注《九章算術》寫到“方五斜七，圓三徑一”，即《九章算術》裡的圓周率近似值為3。從西漢末年開始，新率陸續出現，但仍然不精确，且沒有推算方法。
劉徽同樣以圓内接正多邊形的面積來近似圓的面積，但與安提豐的思路不同，他思考的是求出圓面積的盡量精确的值。
若半徑為r的圓内接正n邊形的邊長是ln，那麼
證明：
如下圖所示
劉徽的方法
設AB是以O為圓心的圓内接正n邊形的一條邊，M是AB中點，延長OM交圓于C，則AC,CB都是圓内接正2n邊形的一條邊。因此
故
設該圓的面積為S0，内接正n邊形的面積為Sn，内接正2n邊形的面積為S2n。由于
且
因此隻要求出圓内接正n邊形的邊長，就能輕松求出正2n邊形的面積。
正常情況下，要估計S0，除了求内接正2n邊形的面積，還要求外切正2n邊形的面積，但是劉徽注意到
即
這是因為如果僅看扇形OAB的話，S2n比Sn多的是三角形ACB的面積，而S0比S2n多的是兩個弓形的面積，兩個弓形的面積要小于三角形ACB的面積。這樣，劉徽就不需要求外切多邊形的面積了。
劉徽從正6邊形開始算到正192邊形，得出“徽率”3.14。
後來祖沖之沿用這個算法算到24576邊形（即12288邊形邊長），得到
（朒nv4數）3.1415926<π<3.1415927（盈數）
按現在的角度來看，圓内接正n邊形的邊長即為
上面的等式恰好是一個三角恒等式。
在半角公式中，餘弦的半角更加簡單，即
用此叠代可以得到很小的角的餘弦值，例如
然後計算正弦值也可以得到同樣的估計結果。
近代數學
——圓周率的逼近方式
從微積分的萌芽階段開始，由于三角函數的運算更加靈活，數學家們得到了更多關于圓周率的逼近方式。
首先是Wallis公式。由于
故
因此
推論：
也就是說
這個結論在概率和數論中都有一些應用。
Wallis公式的壞處是收斂得太慢了，可以看到不等式的左右兩邊的比例是2n:（2n+1），因此即便n取n=500，誤差也在千分之一左右。
由arctanx的展開可以得到如下的Leibniz級數：
這個級數也有同樣的問題，收斂得太慢了。例如，寫到1/1001那一項，誤差仍然是千分之一。
由上可知
故可以寫成級數的形式，并且收斂速度很快。因此如果能先把π寫成較小的x的反正切，收斂速度就會變快很多。馬青公式（Machin’s Formula）就是在此基礎上得到的一個收斂速度較快的公式。
設
那麼
故
容易知道4α，β+（π/4）均在（0，π）中，因此有4α=β+（π/4），故
這就是馬青公式，再根據
可以得到較快收斂到圓周率的級數。
一些案例
——圓周率出現在其他領域
除了普通的級數之外，圓周率也在其它的領域裡有出現，這裡舉兩個例子。
第一個例子是自然數平方和的倒數求和。歐拉求自然數平方和的倒數時，使用的是下面的方法。
考慮
即
它的根為±π，±2π，±3π......
因此它應與另一個無限乘積
的展開應該相等。比較兩邊項x平方項的系數即得
故
當然，上面的證明是不嚴謹的，使用Fourier級數可以給出一個較為嚴謹的證明，這裡略。
自然數平方和的倒數有如下的應用。由于整數環上有唯一分解，也就是說任何一個正整數可以以唯一的方式分解成素數的乘積（不計順序），因此如果假設p1,p2,...,pm,...是所有的素數，那麼
另一方面，由級數求和公式易知
因此
故
現在，我們選擇一個非常大的正整數N，然後在1,2,...,N中随機選擇兩個數a,b（允許相同），那麼a,b互素的概率是多少呢？
注意a,b互素當且僅當它們不同時是任何一個素數p的倍數。當N相對于pm非常大時，可以認為a,b是pm倍數的概率均為1/pm，因此a,b不同時是pm倍數的概率為
又由于N當相對于pm,p1非常大時，1,2,...,N中随機選擇一個數，是否為pm的倍數與是否為p1的倍數是相互獨立事件。因此，當N趨近于無窮時，a,b互素的概率是
也就是在足夠大的範圍内任取兩個自然數，它們互素的概率趨近于6/(π^2)。
第二個例子是Buffon投針實驗。考慮一組平行線，兩兩間距為d，如果将直徑為d的圓形鐵絲扔到平行線上，不論何種情況，圓都應該與這組平行線恰有2個交點。
現在我們将鐵絲拉直再随機抛擲到平行線上，直觀來看，鐵絲的“長度”沒有變化，故交點的期望數不變。但是，現在鐵絲的長度是πd，含有圓周率π，就可以利用它。由于現在鐵絲的長度超過d，記錄交點的數目不容易。
我們可以将鐵絲變短一些，假設鐵絲的長度是l
且交點至多有一個，故鐵絲與平行線相交的概率為2l/πd。
由此看出，如果令l=d/2，那麼鐵絲與平行線相交的概率恰為1/π。
當然，上述的推理也是不嚴謹的，我們可以用積分的方法再推理一遍。
假設鐵絲與平行線的夾角為φ，那麼鐵絲在垂直于平行線的方向的投影長度為lsinφ。當l 由于鐵絲是随機抛擲到平行線上的，故可以認為φ是均勻分布在【0，π/2】上，故鐵絲與平行線相交的概率為 作者簡介 付雲皓，南方科技大學數學系講師，主要研究方向為圖論、教育數學。 親愛的小夥伴 你學會了嗎？
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