笛卡爾簡單的發現，引發了一場深刻的數學革命，緻使拓撲學誕生

引言 面、邊和頂點的數量不是獨立的，而是以一種簡單的方式聯系在一起的。它使用最早的拓撲不變量的例子來區分具有不同拓撲結構的固體。純數學中最重要和最強大的領域之一——拓撲學，是研究幾何物體在連續變形後不變的性質。它幫助我們理解酶如何作用于細胞中的DNA，以及為什麼天體的運動可以是混亂的。 歐拉立方體 當19世紀接近尾聲時，數學家們開始發展一種新的幾何，在這種幾何中，長度和角度等熟悉的概念不再是關鍵，三角形、正方形和圓也沒有區别。最初它被稱為位置分析，但數學家們很快找到了另一個名字：拓撲。 笛卡爾在1639年思考歐幾裡得的五個正多面體時注意到了拓撲。笛卡爾因此把注意力轉向了正立方體，也就是在這個時候，他注意到了關于正立方體的數字規律。一個立方體有6個面，12條邊和8個頂點： 一個十二面體有12個面，30條邊和20個頂點： 一個二十面體有20個面，30條邊和12個頂點;20 - 30 + 12的和等于2。同樣的關系适用于四面體和八面體。事實上，它适用于任何形狀的固體，規則的或不規則的。如果立體有F個面，E條邊，V個頂點，那麼： 笛卡爾認為這個公式隻是一個小小的發現，并沒有發表。直到很久以後，數學家們才把這個簡單的方程式看作是邁向拓撲學的第一步。在19世紀， 純 數學的三大支柱是代數、分析和幾何。到了20世紀末，變成了代數、分析和拓撲學。拓撲學通常被描述為“橡皮泥幾何”，線條可以彎曲、收縮或拉伸，而圓形可以被擠壓，從而變成三角形或正方形，重要的是要保持連續性。連續性是自然世界的一個基本方面，也是數學的一個基本特征。今天，我們主要是間接地使用拓撲。量子場論和标志性分子DNA的一些性質需要通過拓撲來理解。 歐拉在1750年和1751年證明并發表了這一關系。F - E + V的表達式看起來相當随意，但它有一個非常有趣的結構。面(F)是二維多邊形；邊(E)是線，是一維；頂點(V)是點，是0維。表達式+F-E+V中“+”表示偶數維，“-”表示奇數維。這意味着可以通過合并面或删除邊和頂點來簡化實體，這些變化不會改變F - E + V的結果。 現在，我來解釋一下。如圖所示：

• 簡化固體的關鍵步驟。從左到右：(1)開始；(2)合并相鄰面；(3)所有面合并後保留的“樹”；(4)從樹中删除一條邊和一個頂點；(5)結束。

首先，把固體變成一個圓球，它的邊就是球上的曲線。如果兩個面 共 邊，然後你可以删除這條邊并将這兩個面合并成一個。因為這個合并使F和E都減少了1，它不會改變F - E + V的結果。一直這樣做，直到得到一個面，它幾乎覆蓋了整個球面（除了這個面，隻剩下邊和頂點）。它們必須形成一個沒有閉合環的網絡，因為球面上的任何閉合環都至少分開兩個面：一個在閉合環内部，另一個在閉合環外部。 這個過程會一直持續下去，直到隻剩下一個頂點在一個沒有任何特征的球體上。現在V =1，E = 0，F =1。F - E + V =1 - 0 + 1 = 2。但由于每一步F - E + V不變，它一開始的值也一定是2，這就是我們想要證明的。 這個證明有兩個成分。一個是簡化過程：删除一個面和一個相鄰的邊，或者删除一個頂點和一個與之相交的邊。另一個是不變式，即無論何時執行簡化過程中的某一步，它都保持不變的數學 表達式 。隻要這兩種成分同時存在，就可以通過盡可能地簡化任何初始對象的不變式的值，然後計算這個簡化版本的不變式的值。因為它是一個不變量，所以這兩個值必須相等。因為最終結果很簡單，所以不變量很容易計算。 事實上，笛卡爾的公式并不适用于任何固體。最常見的不适用的固體是相框。想象一個由木頭制成的四邊相框，每條邊的橫截面都是矩形，在四個角上用45°的斜面連接起來，如下圖所示。每條邊的木頭貢獻4個面，所以F = 16。每條木頭也貢獻了4條邊，但是斜接在每個角上創造了4條邊，所以E = 32。每個角包含4個頂點，所以V = 16。因此F - E + V =0。 問題出在哪裡？

• 左：F-E + V =0的相框。右圖：對相框進行平滑化簡後的最終結構 。

F - E + V不變性是沒有問題的。簡化過程也沒有問題。但如果你對框架進行處理，總是在一條邊上消去一個面，或者在一條邊上消去一個頂點，那麼最終的簡化構型就不是單個頂點在單個面上了。如上圖的右圖：F =1, V =1, E =2。在這個階段，移除一條邊隻是将剩下的唯一一個面與它本身合并，所以對數字的更改不再抵消。這就是我們停下來的原因，但我們還是得到了答案：對于這個構型，F - E + V = 0。因此，該方法執行得很完美。它隻是對相框産生了不同的結果。相框和立方體之間一定有一些基本的區别，不變量F - E + V将其體現了出來。 前面，我告訴過你把固體“變形成一個圓球”。但這對相框來說是不可能的。即使經過簡化，它的形狀也不像一個球體。它是一個環面，看起來像一個輪胎，中間有個洞。然而，F-E + V仍然是不變的。這個證明告訴我們，任何可變形為環面的固體都滿足稍微不同的方程：F - E +V = 0。因此，我們有了嚴格證明環面不能變形為球體的基礎，也就是說，這兩個表面在拓撲結構上是不同的。 當然這在直覺上是顯而易見的，但現在我們可以用邏輯來支持直覺。正如歐幾裡得從點和線的明顯性質出發，并将它們形式化為嚴格的幾何理論一樣，19世紀和20世紀的數學家發展出了嚴格形式的拓撲理論。

• 左：2孔環面。右：3孔環面。

像環面這樣的實體，有兩個或更多的孔，如 圖 上圖所示。結果表明，任何可變形為2孔環面的固體滿足F - E + V = - 2，任何可變形為3孔環面的固體滿足F - E + V = - 4，一般而言，任何可變形為g孔環面的固體滿足F - E + V = 2- 2g。 沿着笛卡爾和歐拉的思路，我們發現了固體的數量性質（面、頂點和邊的數量）和具有孔的性質之間的聯系。我們稱F - E + V為立方體的歐拉示性數。 我們計算孔的數量，這是一種定量操作，但“孔”本身是定性的，因為它根本不是固體的特征。直覺上，它是空間中的一個區域而固體不是。事實上，你越開始思考孔（洞）是什麼，你就越會意識到定義一個洞是相當棘手的，比如下圖： 這是我最喜歡的一個例子，它被稱為“孔中之孔”，顯然你可以把一個洞穿過另一個洞。 情況變得越來越複雜。到了19世紀末，它們在數學中随處可見——在複分析、代數幾何和黎曼微分幾何中。更糟糕的是，在純數學和應用數學的所有領域中，高維的固體類似物占據了中心地位。太陽系的動力學需要每一個物體有6個維度。它們有更高維度的孔類似物。無論如何，有必要給這個新的領域帶來一點秩序。答案是：不變量。 拓撲不變量的思想可以追溯到高斯關于磁性的研究。他對磁力線和電力線如何相互連接感興趣，他定義了連接數，即一個磁力線繞另一個磁力線的次數。這是一個拓撲不變量：如果曲線連續變形，它保持不變。高斯的學生約翰·李斯特和高斯的助手奧古斯特·莫比烏斯的首次深入了解了高斯的研究。李斯特在1847年的“拓撲研究”中引入了“拓撲”這個詞，而莫比烏斯則明确了連續變形的作用。 李斯特想尋求歐拉公式的推廣。表達式 F- E + V是一個組合不變式。孔的數量g是一個拓撲不變量：無論固體如何變形，隻要變形是連續的，它都不會改變。拓撲不變量捕捉形狀的定性概念特征；組合函數提供了一種計算方法。這兩者結合起來是非常強大的，因為我們可以用概念不變量來考慮形狀，用組合不變量來确定我們要讨論的内容。 事實上，這個公式讓我們完全避開了定義“洞”這個棘手的問題。相反，我們将“洞數”定義為一個包，既不定義洞也不計算有多少個洞。具體怎麼做？就是把歐拉公式F - E + V = 2-2g改寫成這種形式： 現在我們可以通過在立體上“畫面”來計算g，計算F，E和V，然後把這些值代入公式。因為表達式是一個不變量，所以不管我們如何分割實體，總是得到相同的答案。但我們所做的一切都不依賴于洞的定義。相反，“洞數”變成了一種直觀的解釋。 這對拓撲學的一個核心問題有重大的突破：什麼時候一個形狀可以連續變形成另一個形狀？也就是說，就拓撲學家而言，這兩個形狀是否相同？如果它們是一樣的，它們的不變量也一定是一樣的；反之，如果不變量不同，形狀也會不同。由于球面具有歐拉示性數2，而環面具有歐拉示性數0，因此無法将球面連續變形為環面。 不太明顯的是，歐拉示性數表明這個令人費解“孔中之孔”實際上隻是一個僞裝的三孔環面。大多數表面的複雜性并不是來自于表面的固有拓撲結構，而是來自于我選擇将其嵌入空間的方式。 拓撲學中第一個真正重要的定理産生于歐拉示性數公式。它是曲面的一個完整分類，曲面的二維形狀，像球面或環面。此外，還強加了一些技術條件：表面應該沒有邊界，而且範圍應該是有限的（術語是“緊湊”）。 為了這個目的，表面被本質地描述了；也就是說，它并不存在于周圍的空間中。一種方法是把這個表面看成是許多多邊形區域，它們按照特定的規則沿着邊緣粘在一起。

• 把正方形的邊粘在一起做成環面

粘合邊界的可能性導緻了一個相當奇怪的現象：隻有一面的表面。最著名的例子是莫比烏斯的帶，這是一個矩形帶，其兩端以180°的旋轉粘在一起。莫比烏斯帶隻有一條邊，因為矩形的兩條分開的邊通過半扭的方式連在一起。 我們可以很容易做出一個莫比烏斯帶，因為它可以很自然地嵌入三維空間。這個帶隻有一面，也就是說，如果你開始畫它的一個表面，然後繼續畫下去，你最終會覆蓋整個表面，前面和後面。

這是因為半扭轉連接了前面和後面。這不是一個固有的描述，因為它依賴于把帶嵌入空間，還有一個等價的，更專業的特性，叫做可定向性，這是固有的。 如果我們把一個矩形的兩條邊粘在一起，就像一個莫比烏斯帶，然後把另外兩條邊粘在一起，不需要任何扭曲。這個表面被描繪成這樣一個交叉，它看起來就像一個瓶子的脖子戳過側壁，并連接到底部。它是由克萊因發明的，被稱為克萊因瓶。 克萊因瓶沒有邊界且緊湊，因此任何表面分類都必須包括它。它是所有單面曲面家族中最有名的。 在數學的許多領域中，曲面是自然出現的。它們在複分析中很重要，在複分析中，曲面與奇點有關，在這些奇點上函數表現異常——例如，導數不存在。奇異性是複分析中許多問題的關鍵。由于奇異性與曲面有關，曲面的拓撲結構為複變分析提供了一種重要的技術。 大多數現代拓撲都是高度抽象的，很多拓撲都發生在四維或多維空間中。我們可以在更熟悉的環境中對主題有一種感覺：扭結。在現實世界中，結是用一根繩子打結而成的。拓撲學家們需要一種方法來防止繩結脫離繩結的末端，因此他們将繩結的末端連接在一起，形成一個閉合的環。一個結就是嵌在空間中的一個圓。從本質上講，結與圓的拓撲結構是相同的，但在這種情況下，重要的是圓在周圍空間中的位置。這似乎與拓撲學的精神相違背，但結的本質在于弦環和圍繞它的空間之間的關系。通過不僅僅考慮環路，而且考慮它與空間的關系，拓撲學可以解決關于結點的重要問題。其中包括：

• 我們怎麼知道一個結真的打了？
• 我們如何區分拓撲上不同的結？換句話說，兩個紐結能否從一個光滑地形變到另一 個，而不必切開紐結自身，這仍然被認為是一個複雜的數學問題。紐結不變量是幫助解 答這個問題的有力工具，我們接下來會介紹。
• 我們能對所有可能的結進行分類嗎？

蘇格蘭理論物理學家 Peter Tait 用多年時間研究出最早的紐結分類表。1910 年馬克 思·德恩引進了紐結群的概念。1928 年詹姆斯·瓦德·亞曆山大引進了紐結多項式這個更容易處理的不變量。這些都是紐結理論發展 之路上重要的進步。 大約在1960年以後，結論進入了拓撲學的低潮，等待着創造性的洞見。1984年，新西蘭數學家沃恩·瓊斯發明了新的紐結不變量，稱為瓊斯多項式，也使用紐結圖和三種移動類型來定義。然而，這些移動并不保留結的拓撲類型。然而，令人驚訝的是，這個想法仍然是可行的，而且瓊斯多項式是一個結不變量。 瓊斯的發現為他赢得了菲爾茲獎。它也引發了新的結不變量的爆發。1985年，四組不同的數學家（8個人），同時發現了瓊斯多項式的相同推廣，并各自向同一份雜志提交了論文。這四種證明都是不同的，編輯說服這八名作者聯合起來發表一篇聯合文章。它們的不變量通常被稱為HOMFLY多項式（基于名字的首字母）。但即使是瓊斯多項式和HOMFLY多項式也沒有完全回答結理論的三個問題。對所有可能的結進行系統的分類仍然是數學家的白日夢。 拓撲有很多用途，但它們通常是間接的。例如，我們對混沌的理解是建立在動力系統的拓撲特性的基礎上的。 更深奧的拓撲學應用出現在基礎物理學的前沿。在這裡，拓撲的主要“消費者”是量子場理論學家，因為超弦理論，即量子力學和相對論的統一理論，是基于拓撲的。在這裡，類似的瓊斯多項式在結理論出現在費曼圖的背景下，它顯示了量子粒子，如電子和光子如何通過時空移動，碰撞，合并和分裂。費曼圖有點像結圖。 對我來說，拓撲學最吸引人的應用之一是它在生物學上越來越多的應用，幫助我們理解生命分子DNA的工作方式。是因為DNA是雙螺旋結構，就像兩個相互纏繞的螺旋樓梯。這兩條鍊錯綜複雜地交織在一起，重要的生物過程，特别是細胞分裂時複制DNA的方式，必須考慮到這種複雜的拓撲結構。 有些酶，稱為重組酶，切斷兩條DNA鍊，然後以不同的方式重新連接。為了确定這種酶在細胞中的作用，生物學家将這種酶應用到DNA的閉合環上。然後，他們用電子顯微鏡觀察修改後的環的形狀。如果酶将不同的鍊連接在一起，圖像就是一個結： 如果酶使這些鍊分開，圖像顯示出兩個相連的環。紐結理論的方法，如瓊斯多項式和另一種被稱為“纏結”的理論，使研究結和連接發生成為可能，這提供了關于酶作用的詳細信息。 總的來說，你不會在日常生活中遇到拓撲。但在幕後，拓撲學貫穿了整個主流數學，使其他具有更明顯實際用途的技術得以發展。這就是為什麼數學家們認為拓撲學非常重要，而數學之外的人卻幾乎沒有聽說過它。