希爾伯特空間，代數、拓撲和幾何的融合，是量子力學的數學基礎
在數學中，希爾伯特空間（以大衛·希爾伯特命名）允許将線性代數和微積分的方法從二維和三維歐幾裡得空間推廣到可能具有無限維數的空間。希爾伯特空間是一個具有内積運算的向量空間，它允許定義距離函數和垂直度（稱為正交性）。此外，對于這個距離，希爾伯特空間是完備的，這意味着空間中有足夠的限制，可以使用微積分技術。
希爾伯特空間在數學和物理中自然而頻繁地出現，典型的是無窮維函數空間。在偏微分方程、量子力學、傅立葉分析（包括信号處理和傳熱的應用）和遍曆理論（形成熱力學的數學基礎）中，它們是不可或缺的工具。約翰·馮·諾伊曼創造了希爾伯特空間這個術語，用來描述這些不同應用的抽象概念。希爾伯特空間方法的成功開創了一個非常富有成果的泛函分析時代。除了經典的歐幾裡得空間外，希爾伯特空間的例子還包括平方可積函數空間、序列空間、由廣義函數組成的索伯列夫空間和全純函數的哈代空間。
幾何直覺在希爾伯特空間理論的許多方面都起着重要的作用。畢達哥拉斯定理和平行四邊形定律在希爾伯特空間中有确切的類比。在更深層次上，在子空間上的垂直投影在優化問題和理論的其他方面起着重要的作用。希爾伯特空間理論是代數、拓撲和幾何的融合。
概述
我們已經熟悉代數和幾何的融合，即在線性空間R^n中。R^n中的元素可以看作是n維空間中的點，也可以看作是向量。通常，點有坐标，矢量可以相加和縮放。而且，在标準内積存在的情況下，内積由下式給出：
向量的長度是由範數給出的：
在這個意義上，代數和幾何之間的“相互作用”是相當平滑的。不過，隻要考慮到無限維線性空間，情況就會發生變化，這也是拓撲學出現的地方。
對于無限維線性空間，所有的線性算子都是連續的，算子的收斂具有單一的含義，任何線性空間都與它的雙重對偶自然同構，而且封閉單位球是緊湊的。這些便利條件在無限維的情況下并不存在。雖然基數确實存在，但其存在的證明是非結構性的，而且往往不能明确地給出基數。因此，依靠坐标和矩陣的技術通常是不合适的。線性算子不一定是連續的，事實上，許多感興趣的線性算子都不是連續的。由兩個線性空間之間的所有線性算子組成的空間帶有兩種不同的拓撲結構，因此也有兩種不同的收斂概念。對偶空間的正确概念是所有連續線性算子進入地五十度的空間，即使如此，原空間也隻嵌入其雙重對偶中。最後，封閉的單位球并不緊湊。
從某種意義上說，希爾伯特空間理論的目的是開發适當的機制，以便能夠推理無限維線性空間，并在這些固有的困難和拓撲學的微妙之處加以考慮。因此，研究希爾伯特空間所需的數學背景包括線性代數、拓撲學、公制空間理論和規範空間理論。拓撲群的理論，即群論和拓撲學的融合，也自然而然地産生了。在我們繼續闡述這些主題之前，我們先來看看它們中最基本的空間，即實數空間。
實數，一切開始的地方
對于人類觀察外部世界來說，最基本的是實數。測量的結果幾乎總是被認為是一個實數（至少在某種理想意義上）。這種理想化深深紮根于科學界的傳說中，實數的名字就證明了這一點；在所有的數字中，這些都是實數。無論科學對實數的強烈偏好的原因是什麼，都是哲學家們的争論。我們隻是觀察到，無論實數的使用是否合理，實數在科學中的成功是毋庸置疑的。
不過在數學上，實數提出了幾個非微不足道的挑戰。其中一個挑戰是實數的定義，或者換句話說，回答這個問題：什麼是實數？對于古希臘人來說，大緻上直到畢達哥拉斯派，實數被認為是理所當然的，與我們今天所說的理性數相同。在發現"√2 "是一個無理數之前，這一直是人們普遍持有的信念（這一發現的确切情況尚不清楚）。為實數構建精确的模型需要等待無數個世紀，而超限數的發現和對有多少個實數的理解也是如此。
構造實數
讀者很可能對實數有自己的看法。任何對實數的精确解釋或說明都屬于哲學範疇。從數學角度，我們現在提出一個精确的實數模型的許多構造之一。與任何模型的構建一樣，一個人不可能從無到有地構建某些東西。因此，我們假定讀者接受有理數（一個模型）的存在，且看法一緻，但對實數系統卻一無所知。我們将給出實數的精确結構。
為了從有理數推導出實數結構，我們知道有理數在實數中是密集的，意思是在任意兩個實數之間存在一個有理數。這個簡單的觀察引出了一個關鍵的事實：每一個實數都是有理數序列的極限。因此，有理數的收斂序列使我們能夠得到所有的實數。由于許多不同的有理數數列都可能收斂于同一實數。我們需要在它上面引入一個等價關系，它識别兩個有理數序列，如果它們收斂于相同的實數。
綜上所述，如果S表示所有的有理數序列收斂的集合，那麼我們期望能夠确定一個等價關系~ S，使S/ ~形成實數的模型。然而，為了在不進入循環論證的情況下邁出第一步，我們必須首先能夠在沒有任何實數先驗知識的情況下識别出所有有理數序列中的收斂序列。這是通過引用柯西數列的概念來完成的，柯西數列是實數數列的一個條件，衆所周知，它等價于收斂。關鍵的觀察是，有理數序列的柯西條件可以完全不提及實數。
超越數
在數學中，超越數是非代數數，也就是說，不是一個有限次有理數多項式的根。最著名的超越數是π和e。
雖然隻有少數幾類超越數是已知的，超越數并不罕見。事實上，幾乎所有的實數和複數都是超越的，因為代數數構成了可數集，而實數集和複數集都是不可數集，因此大于任何可數集。所有超越的實數（也稱為實數超越的無理數或超越的無理數）都是無理數，因為所有有理數都是代數數，但并不是所有的無理數都是超越的。因此，實數集由有理數、代數無理數和超越實數組成。例如，2的平方根是無理數，但它不是超越數。黃金比例是另一個非超越數的無理性數。
約瑟夫·劉維爾直到1844年才确立了超越數的存在，不久之後，他構建了第一個明确的超越數的例子。雖然我們對超越數已經了解了很多，但π +e是否是代數的還是未知的。
1884年，繼劉維爾證明了超越數的存在之後不久，康托不僅證明了超越數的存在，而且還證明了絕大多數實數在某種意義上是超越的。康托使用的技術是超限計數法。利用集合的基數概念，康托計算了有多少個
代數
數和有多少個實數，并證明了實數嚴格地多于代數數。超越數存在這一不可避免的結論，雖然遇到了一些阻力，卻迫使我們面對下面同樣不可避免的真理。與康托的代數數計算類似，我們也可以計算任何自然語言中的所有句子，例如英語。正如它所證明的，所有潛在的英文實數描述的基數與代數數的基數是相同的，因此嚴格小于所有實數的基數。我們現在必須得出這樣的結論：存在一些實數，它們永遠不可能被描述為任何形式。
線性空間
線性空間，也被稱為向量空間，可能是數學空間中最簡單的概念。當被認為是模拟實際的物理空間時，線性空間似乎在所有方向上都是相同的，并且完全沒有任何曲率。線性空間，以及與線性變換或線性算子密切相關的概念，是基本的對象。例如，函數在一點上的導數最好理解為切線空間上的線性算子，特别是對于多變量函數。可微流形是非常複雜的空間，但在每一點上，它們都是局部線性的。這可能有點誇張，但衆所周知，如果一個問題可以線性化，那麼它就等于解決了。
拓撲空間
拓撲很容易定義，但
很難
解釋。導緻拓撲學發展的思想在表面之下潛伏了一段時間，很難确定拓撲學在曆史上的确切時間誕生。可以肯定的是，拓撲學誕生後，在20世紀上半葉的發展非常迅速。拓撲的統一能力是巨大的，它的解釋能力是強大的。例如，連續函數在閉區間上的極大極小的存在性，或連續函數在閉區間上的一緻
連續
性，可能使閉區間顯得具有特殊意義。拓撲學能夠解釋這種情況，确定閉區間的一個特定拓撲性質，即它是緊湊的，作為使證明能夠延續到更一般情況下的關鍵成分。
度量空間（距離空間）
度量空間出現在1906年莫裡斯的博士論文t中。度量空間是可以測量點之間距離的集合，從某種意義上說，度量空間所攜帶的幾何信息比拓撲空間所能描述的要多得多。公理越強，定理越強，但例子也越少。然而，度量空間的公理允許大量和各種各樣的例子和定理。特别地，完全度量空間，即那些直觀上沒有孔的度量空間，有兩個很強的定理。一個是巴拿赫不動點定理，另一個是貝瑞定理（Baire’s Theorem）。前者可用于求解微分方程，而後者對完備度量空間和連續函數的結構有深刻的影響。
賦範空間和巴拿赫空間
與向量相關的一個非常基本的屬性是它的範數，也就是它的長度，其抽象形式是由賦範空間的公理給出的。範數的存在允許我們定義任意兩個向量之間的距離，通過所謂的誘導度量，我們得到一個度量空間，以及它所誘導的拓撲結構。因此，任何賦範空間立即包含代數和幾何。巴拿赫空間是一個賦範空間，作為度量空間，它是完備的。代數和幾何之間的相互作用是特别強大的，允許非常強的結果。
拓撲群
巴拿赫空間是代數和幾何的融合。類似地，拓撲群是代數和拓撲之間的融合。與巴拿赫空間不同的是，代數結構是群的代數結構，而幾何從度規角度簡化為拓撲。因此，一個拓撲群是一個比巴拿赫空間弱得多的結構，然而代數和拓撲之間的相互作用仍然産生了非常豐富和有趣的理論。
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