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壓軸題“一題精講”(三):動圓中的位置關系

圓中的位置關系問題,往往涉及的是 點與圓、直線與圓以及圓與圓的位置關系 。 隻要能夠順利完成下圖中的表格,即 找到距離與半徑間的數量關系 ,可梳理出圓與點、直線和圓直徑的位置關系。
鍊接: ; ;

與“圓相關的位置關系”問題可以采取下圖的路徑進行解決。

與 “位置關系” 如影随形的往往就是 “動點” 。處理動點(動圓心)的關鍵在于 “化動為靜” ,即根據題目要求畫出運動過程中的 靜态瞬間 , 關注特殊位置 .對于每個特殊位置的研究,重在思考什麼在邊,什麼不變.以一般經驗而論, 不變的往往是特殊圖形或特殊圖形關系,變的是某些線段和差關系 .

本題的背景是等腰三角形+動圓,并作了∠B=∠ODP,由于圓心O的不斷運動,因此點E和點P的相對位置也會發生變化。具體的變化趨勢如下圖的動畫演示:

通過視頻演示可以發現,本題中的關鍵位置有三種:即P與C重合,P與E重合以及P與A重合。

首先先分析三角形中相關角的三角比以及圖中現有的等角和等邊。通過過點A向BC作垂線以及過點C向AB作垂線,可以求出∠BAC和∠ABC的三角比。通過進一步分析圖中的現有背景條件,可以得到AP=DP。

繼而繼續分析三種位置所對應的x的取值範圍:

在解題的時候充分利用∠A和∠B的銳角三角比,結合垂徑定理進行輔助線的添加,通過解三角形的形式求出相應的線段長度。

(1)本題的第一問根據上述分析可以得到DP=AC=5;

(2)本題的第二問涉及到 分類讨論 ,即點E在線段DP或其延長線上兩種情況:

當E在線段DP上時 ,此時 AP-EP的值恰好為DE ,而DE的長可以用含x的代數式表示; 當E在DP的延長線上時 ,此時AP-EP的值無法直接表示,因此借助“y=AP-EP以及DE=DP+EP”這兩組等式,化簡得到 y=2AP-DE , 用含x的代數式表示AP ,即可得到兩者間的函數關系。

(3)涉及到了圓與圓的位置關系。此時主要要用含x的代數式表示圓C的半徑以及圓心距OP的長度。

如圖,此時根據DO⊥DP,在Rt△DOP中,可以用含x的代數式表示DP和OP的長度,通過DP=AP,可以結合先前用含x的代數式表示AP的範圍,聯立求得x的值。然後根據CP和BO的和與差,與OP的長度進行比較,從而确定兩圓的位置關系。

本題的背景同例題一樣,還是腰長為5,底邊為6的等腰三角形。通過分析求出∠B和∠A的三角比,借助 垂徑定理添加輔助線 ,繼而表示相關線段。
(1 )建立BO和CD間的函數關系式. 過點O作OM的垂線,解△BOM,即可得到BD的長度。

(2) 考察了直線與圓的位置關系. 圓O與邊AC隻有一個交點存在以下兩種情況:①圓O恰好與邊AC相切;②圓O與邊AC恰好隻有一個交點(此時圓O經過點A的臨界位置).

(3) 考察了相似三角形的存在性問題. 由于△ABC是等腰三角形,且以C為底角,則△EDC也是以C為底角的等腰三角形,從而進行分類讨論。通過發現與目标△ABC相等的角,借助三角比和解直角三角形求出x的值。此時 可以隐去圓 ,就圖中的邊角間的數量關系開展探索。

模型鍊接:特殊等腰三角形中的底角或頂角的三角比

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