改變世界的方程式——對數方程，它是如何影響人類發展的？

數字起源于實際問題：記錄财産（如動物或土地）和金融交易（如稅收和記賬）。已知最早的數字符号，除了像||||這樣簡單的計數符号外，在公元前8000年，美索不達米亞的會計人員使用各種形狀的泥印章來記錄。考古學家發現，每個形狀都代表一種基本的商品——一個球形的谷物，一個雞蛋，一罐油等等。為了安全起見，這些印章用粘土包裹起來。但打開一個粘土包裹，看看裡面有多少印章是一件麻煩事，所以古代的會計師在包裹外面劃上符号，顯示裡面是什麼。最終，他們意識到，一旦你有了這些符号，你就可以扔掉這些印章。其結果是一系列書寫數字的符号——這是後來所有數字符号的起源，也許也是書寫的起源。

伴随數字而來的是算術：用于加、減、乘、除數字的方法。像算盤這樣的工具被用來做算術，結果可以用符号記錄下來。過了一段時間，人們發現了在沒有機械輔助的情況下使用這些符号進行計算的方法，盡管算盤仍然在世界上許多地方被廣泛使用，而在大多數其他國家，電子計算器已經取代了筆和紙的計算。

算術在其他方面也被證明是必不可少的，尤其是在天文學和測量學方面。随着物理科學的基本輪廓開始浮現，科學家們需要用手進行更加精細的計算。這通常會占用他們大量的時間，有時是幾個月或幾年，妨礙他們進行更多的創造性活動。最後，必須加快“計算”這一進程。無數的機械裝置被發明出來，但最重要的突破是一個概念上的：先思考，後計算。使用聰明的數學，可以使困難的計算變得容易得多。

這種新的數學很快就發展出了自己的生命，具有深刻的理論意義和實踐意義。今天，這些早期的思想已經成為整個科學領域不可或缺的工具，甚至延伸到心理學和人文學科。它們被廣泛使用，直到20世紀80年代，計算機使它們在實際用途上過時，但盡管如此，它們在數學和科學中的重要性繼續增長。

其核心思想是一種叫做對數（logarithm）的數學技術。它的發明者是一個蘇格蘭人，但是， 一位 對航海和天文學有着濃厚興趣的幾何教授，用一個好得多的想法取代了蘇格蘭人聰明但有缺陷的想法。

1615年3月，亨利·布裡格斯給詹姆斯·亞瑟寫了一封信，信中記錄了科學史上的一個重要事件：

納珀，馬爾金斯頓的領主，已經讓我的腦袋和雙手開始研究他那令人欽佩的新對數了。如果上帝願意的話，我希望今年夏天能見到他，因為我從來沒有見過哪本書比他的書更使我高興，更使我感到驚奇。

布裡格斯是倫敦格雷欣學院的第一位幾何學教授，而“納珀，馬爾金斯頓公爵”是約翰·納皮爾，默奇斯頓的第八任領主，默奇斯頓現在是蘇格蘭愛丁堡市的一部分。納皮爾似乎有點神秘；他對神學有濃厚的興趣，但主要集中在《啟示錄》上。在他看來，他最重要的作品是《聖約翰啟示錄》，這本書讓他預言世界将在1688年或1700年終結。他被 認為 同時從事煉金術和巫術。據傳聞，無論他走到哪裡，他都帶着一隻裝在小盒子裡的黑蜘蛛。

納皮爾把他的大部分時間花在數學上，特别是用來加速複雜算術計算的方法。納皮爾的一項發明是一組十根棒，上面标有數字，這簡化了長乘法的過程。更讓他聲名鵲起的發明創造了一場科學革命：1614年的《對數經典描述》。

數學家們，在數學藝術的實踐中，沒有什麼比在冗長的乘法和除法、求比、求平方根和立方根等繁瑣的工作中所遭受的巨大拖延更令人乏味的了。我一直在想，究竟用什麼穩妥而迅速的方法，才能克服這些困難呢？最後，經過研究，我終于找到了一種縮短計算的神奇方法……

布裡格斯一聽說對數就被迷住了。像他那個時代的許多數學家一樣，他花了大量時間進行天文計算。我們之所以知道這一點，是因為布裡格斯在1610年寫給厄舍的另一封信中提到了計算日蝕，還因為布裡格斯此前出版了兩本數表書，一本與北極有關，另一本與航海有關。所有這些作品都需要大量複雜的算術和 三角 學知識。納皮爾的發明将節省大量繁瑣的勞動。但布裡格斯越研究這本書，就越相信，盡管納皮爾的方法很好，但他的方法卻錯了。布裡格斯提出了一個簡單但有效的改進方案，并長途跋涉來到蘇格蘭。他們見面的時候，幾乎花了一刻鐘的時間，彼此贊賞地望着對方，才說了一句話。

是什麼引起了如此多的贊賞？對于任何學習算術的人來說，一個重要的觀察是，加法相對容易，而乘法則不然。乘法比加法需要更多的算術運算。例如，兩個十位數的數字相加大約需要十個簡單的步驟，而乘法則需要200個步驟。在現代計算機中，這個問題仍然很重要，但現在它被隐藏在用于乘法運算的算法中。但在納皮爾的時代，這一切都必須手工完成。如果有一些數學技巧可以把這些讨厭的乘法運算轉換成漂亮的、快速的加法運算，那不是很棒嗎？這聽起來好得令人難以置信，但納皮爾意識到這是可能的。訣竅是用一個固定數的幂。

在代數中，未知x的幂可由上标表示。即，xx = x^2, xxx = x^3, xxxx = x^4，等等。而在代數中，通常将兩個字母放在一起意味着應該将它們相乘。例如10^4 = 10 × 10 × 10 × 10 = 10000。在你發現一種簡單的方法來計算10^4 × 10^3之前，您不需要在這些 表達式 上花很長時間。隻是寫出

答案中0的個數是7，等于4 + 3。計算的第一步說明了為什麼是4 + 3：我們把4個10和3個10放在一起。簡而言之

同樣的，無論x的值是多少，如果我們用它的a次方乘以它的b次方，其中a和b是整數，那麼我們得到(a + b)次方：

這似乎是一個無關緊要的公式，但在左邊，它是兩個量相乘，而在右邊，主要步驟是a和b相加，這更簡單。

假設你要用2.67乘以3.51。乘法得到9.3717，小數點後兩位是9.37。如果你嘗試使用之前的公式呢？訣竅在于x的選擇，如果我們取x為1.001，那麼一些算術就能揭示這一點

精确到小數點後兩位。公式告訴我們2.87 × 3.41等于

小數點後兩位是9.37。

計算的核心是一個簡單的加法：983 + 1256 = 2239。然而，如果你檢查一下我的計算，你會很快意識到，如果我把問題變難了，而不是變簡單了。要算出(1.001)^983，需要将1.001乘以自身983次。要發現983是正确的幂，你需要做更多的計算。乍一看，這似乎是一個無用的想法。

納皮爾的深刻見解是，這種反對是錯誤的。但為了克服它，必須計算1.001的許多次幂，從(1.001)^2開始，直到(1.001)^10,000。然後他們可以公布一張所有這些 幂 的表格，然後查表就可以了。

真正準确的結果需要更接近1的幂，比如1.000001。這使得表變得更大，有大約一百萬次幂。為這個表進行計算是一項巨大的任務。

在這個例子中，我們可以說幂983和1256，是我們想要乘以的數字2.67和3.51的對數。同樣，2239是他們乘積9.38的對數。把log寫成縮寫，我們所做的就是這個方程：

對任意數字a和b都有效。任意選擇的1.001稱為底數。如果我們使用不同的底數，我們計算的對數也會不同，但對于任何固定的底數，一切都是一樣的。

納皮爾就該這麼做。但出于我們隻能猜測的原因，他做了一些稍微不同的事情。布裡格斯從一個全新的角度來研究這項技術，他發現了兩種方法來改進納皮爾的想法。

當納皮爾在16世紀後期開始思考數字的幂時，将乘法簡化為加法的想法已經在數學家中流傳開來。丹麥人采用了一種非常複雜的方法，叫做“修複法”，它是根據一個涉及三角函數的公式推導出來的。納皮爾對此很感興趣，他很聰明地意識到，用一個固定數字的幂可以更簡單地完成同樣的工作。必要的表格并不存在。必須有一些具有公益精神的人來做這項工作。納皮爾自願承擔這項任務，但他犯了一個戰略性錯誤。

他用的不是比1稍大的底數，而是比1稍小的底數。因此，幂級數開始時是大數，然後逐漸變小。這使得計算略顯笨拙。

布裡格斯發現了這個問題，并找到了解決方法：使用略大于1的底數。他還發現了一個更微妙的問題，并進行了處理。如果納皮爾的方法被修改為具有類似于1.0000000001的幂次，那麼在12.3456和1.23456的對數之間就沒有直接的關系了。所以還不清楚什麼時候會停止。問題的根源是log 10的值，因為

不幸的是，log10很棘手，以1.0000000001為底，10的對數是23,025,850,929。布裡格斯認為如果底數能選擇使得log 10 = 1就更好了。然後log10x = 1 + logx，不管log1.23456是多少，隻要加1就能得到log12.3456。現在的對數表隻需要從1到10就可以了。如果出現了更大的數字，隻需加上适當的整數。

log 10 = 1，和納皮爾一樣，以1.0000000001為底，然後每個對數除以這個奇怪的數字23025850929。得到的表由以10為底的對數組成，我寫成log10x，它們是滿足的

和以前一樣，同時

不到兩年，納皮爾就去世了，于是布裡格斯開始研究以10為底的對數表。1617年，他出版了《第一千的對數》，描述了從1到1000的整數的對數，精确到小數點後14位。1624年，他又推出了《算術對數》，這是一個以10為底的對數表，從1到2萬以及從9萬到10萬。其他人迅速跟随布裡格斯的腳步，填補了這個巨大的空白，并開發了一些輔助表格，比如三角函數的對數，如logsinx。

啟發對數的同樣的思想允許我們定義一個正變量x的x^a次方對于a的值不是正整數。我們所要做的就是讓定義與方程x^ax^b = x^（a+b）一緻。為了避免麻煩，最好假設x是正的，并定義x^a，使它也是正的。

例如，x^0是什麼？我們知道x^1 = x，公式說x^0必須滿足x^0x = x（0+1） = x，除以x，得到x^0 = 1。那麼x^（-1）呢？公式是

除以x，得到x^（−1） = 1/x。

當我們考慮x^（1/2）時，它開始變得更有趣，而且可能非常有用。它必須滿足

所以x^（1/2）乘以它本身就是x，唯一具有這個性質的數就是x的平方根，所以

同理，我們可以對任何分數p/q定義x^（p/q）。然後，用分數來近似實數，我們可以定義任意實數a的x^a，方程x^ax^b = x^（a+b）仍然成立。

完備的對數表一問世，就成為科學家、工程師、測量員和航海家不可缺少的工具。他們節省了時間和精力，使答案更精确。在早期，天文學是主要的受益者，因為天文學家通常需要進行長時間和困難的計算。法國數學家、天文學家皮埃爾·西蒙·德·拉普拉斯說，對數的發明“将許多個月的工作縮短到幾天，使天文學家的壽命延長了一倍，并使他避免了錯誤和厭惡”。随着機械在制造業中的應用越來越廣泛，工程師們開始越來越多地運用數學——設計複雜的齒輪，分析橋梁和建築物的穩定性，以及建造汽車、卡車、輪船和飛機。幾十年前，對數是學校數學課程的重要組成部分。工程師們在口袋裡裝了一個對數模拟計算器，一個對數基本方程的物理表示，供現場使用。他們稱其為計算尺，并将其應用于從建築到飛機設計的各個領域。

1630年，英國數學家威廉·奧特雷德用圓形刻度繪制出了第一個計算尺。1632年，他修改了這一設計，将兩個尺子改為直的。這是第一個計算尺。這個想法很簡單：當你把兩根杆子首尾相接時，它們的長度相加。如果杆子用對數刻度标記，在對數刻度上數字是按照它們的對數間隔的，那麼相應的數字相乘。例如，把一個杆上的1與另一個杆上的2放在一起。對于第一個杆上的任意x，我們發現第二個杆上是2x。所以相對于3，我們找到6，以此類推。如果數字更複雜，比如2.67和3.51，我們放置一個相對位置2.67，然後讀出相對位置3.59的任何東西，即9.37。這很簡單。

• 用計算尺乘2乘3

工程師們很快就開發出了帶有三角函數、平方根、對數-對數尺（對數的對數）的奇妙計算尺來計算幂。最終，對數讓位于數字計算機，但即使是現在，對數仍然在科學技術中發揮着巨大的作用，與之相伴的還有不可分割的指數函數。對于以10為底的對數，函數是10^x；對于自然對數，函數是e^x。如果你取一個數，取對數，然後取它的指數，你就得到了開始時的數。

既然有了計算機，為什麼還需要對數呢？

2011年，日本東海岸附近發生了裡氏9.0級的地震，引發了巨大的海嘯，摧毀了一大片人口稠密的地區，造成大約2.5萬人死亡。海岸上有一座核電站，福島第一核電站。它由六個獨立的核反應堆組成。海嘯來襲時，有三架還在運行；另外三個反應堆已經暫時停止運行，它們的燃料已經被轉移到反應堆外但反應堆建築内部的水池中。

我不想在這裡分析核能的優點或其他方面，但我确實想說明對數是如何回答一個重要問題的：你如何知道有多少放射性物質已經被釋放，以何種形式，它們會在環境中停留多久，在什麼地方可能是危險的？

放射性元素衰變，也就是說，它們通過核過程轉化為其他元素，在轉化過程中釋放出核粒子。正是這些粒子構成了輻射。放射性水平随着時間的推移而下降，就像一個熱物體的溫度在它冷卻時下降一樣：呈指數級下降。所以，在适當的單位中，，t時刻的放射性水平N(t)符合這個方程

其中，N_0是初始水平，k是一個常數，這取決于所涉及的元素。更準确地說，它取決于我們所考慮的元素的哪種形式，或同位素。

測量放射性持續時間的一種簡便方法是半衰期，這個概念于1907年首次提出。這是初始水平N_0下降到一半所需的時間。為了計算半衰期，我們解了這個方程

兩邊同時取對數。結果是

我們可以算出來，因為k是從實驗中知道的。

半衰期是評估輻射持續時間的一種方便的方法。例如，假設半衰期為一周。然後材料放射輻射的原始速率在1周後減半，2周後下降到1 / 4，3周後下降到1 / 8，以此類推。它需要10周的時間下降到原來水平的千分之一，20周的時間下降到一百萬分之一。

在常規核反應堆事故中，最重要的放射性産物是碘-131和铯-137。第一種可能導緻甲狀腺癌。碘- 131的半衰期隻有8天，所以如果有合适的藥物，它的危害很小，除非繼續洩漏。标準的治療方法是給人們服用碘片，以減少身體吸收的放射性物質的量，但最有效的治療方法是停止飲用受污染的水。

铯-137則截然不同：它的半衰期為30年。放射性水平下降到初始值的百分之一大約需要200年的時間，所以它在很長一段時間内都是危險的。反應堆事故的主要實際問題是土壤和建築物的污染。去污染在某種程度上是可行的，但昂貴。例如，土壤可以被移走，用手推車運走，并儲存在安全的地方。但這會産生大量的低放射性廢物。

放射性衰變隻是納皮爾和布裡格斯的對數繼續為科學和人類服務的許多領域中的一個。它們還會出現在熱力學和信息論中。盡管現在快速計算機已經使對數在其最初的目的——快速計算上變得多餘，但它們仍然是科學的核心，因為它們是概念上的，而不是計算上的。

對數的另一個應用來自于對人類感知的研究：我們如何感知周圍的世界。知覺心理物理學的早期先驅們對視覺、聽覺和觸覺進行了廣泛的研究，他們發現了一些有趣的數學規律。

19世紀40年代，德國醫生恩斯特·韋伯進行了一項實驗，以确定人類的感知能力有多敏感。他給受試者們一些砝碼，讓他們拿在手裡，然後問他們什麼時候能感覺到一個砝碼比另一個更重。韋伯可以計算出最小的可檢測的重量差異是什麼。也許令人驚訝的是，這種差異并不是一個固定的數量。這取決于被比較的重量有多重。人們感覺不到最小的差别，比如50克。他們感覺到的是相對最小的差異，比如1%的權重。也就是說，人類感官所能檢測到的最小差異與刺激，即實際的物理量成正比。

在19世紀50年代，古斯塔夫·費希納重新發現了同樣的定律，并在數學上重新定義了它。這導緻他提出了一個方程，他稱之為韋伯定律，但現在它通常被稱為費希納定律。它指出，感知到的感覺與刺激的對數成正比。實驗表明，這一規律不僅适用于我們的重量感，也适用于視覺和聽覺。如果我們觀察一盞燈，我們所感知到的亮度随着實際能量輸出的對數而變化。如果一個光源的亮度是另一個光源的十倍，那麼無論這兩個光源實際有多亮，我們感知到的差異都是恒定的。同樣的道理也适用于聲音的響度：能量十倍的爆炸聲發出的聲音是固定的。

韋伯-費希納定律并不完全準确，但它是一個很好的近似。進化過程中需要用到對數尺度，因為外部世界給我們的感官帶來的刺激有很大的範圍。一種聲音可能比一隻老鼠在樹籬間竄來竄去大不了多少，也可能是一聲雷鳴；我們需要兩者都能聽到。但是聲級的範圍是如此之大，以至于沒有任何生物感官設備能夠根據聲音産生的能量做出相應的反應。