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高中數學:三次函數極值點的判斷

三次函數的一般形式:f(x)=ax3+bx2+cx+d (a≠0,x∈R)

求複雜函數極值點最常用的方法是對函數求導,所以我們有:

f’(x)=3ax2+2bx+c (a≠0,x∈R)

判斷是否存在極值:

(1)判别式△=b2-3ac≤0 , f’(x)≥0恒成立,f(x)不存在極值點

(2)判别式△=b2-3ac>0 , f’(x)存在兩個零點,f(x)存在極大值和極小值

我們也可以這樣表述:

(3)f(x)有極值的充要條件:f’(x)有兩個不同的零點;

(4)f(x)在區間(m,n)有一個極值的充要條件:f’(x)在區間(m,n)有一個零點(非重根);

(5)f(x)在區間(m,n)有兩個極值的充要條件:f’(x)在區間(m,n)有兩個不同零點;

例1、已知三次函數f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-1和x=1處取得極值, 且f(-2)=-4

(1)求a與b的值;

(2)求函數y=f(x)的單調區間.

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