構造特殊三角形和全等三角形結合四點共圓計算角度數
一、利用翻折或旋轉構造等邊三角形和全等三角形結合四點共圓求角的度數。
【題目】
已知，在△ABC中，AB = AC ，∠BAC = 80°，點P 是△ABC内的一點，且∠PBC =10°，∠PCB = 20°，連接AP ，則∠BAP = °。
【本題考點】
軸對稱（翻折），三角形的内角和定理，三角形的外角定理、等邊三角形的判定與性質、等腰三角形的性質（等邊對等角、三線合一），等角的補角相等，全等三角形的判定與性質，四點共圓的判定、圓的基本性質（圓周角定理）。
【解析】
把△ACP沿AC翻折到△ACQ的位置，連接PQ、AQ、BQ ，延長BP交CQ 于點D 。
∵ AB = AC ，∠BAC = 80°，
∴ ∠ABC = ∠ACB = 50°，
∵∠PBC = 10°，∠PCB = 20°，
∴ ∠ACP = ∠DPC = 30°，
∵ 翻折，
∴ △APC ≌ △AQC ，
∴ CP = CQ ，∠ACP = ∠ACQ = 30°，
∴ ∠PCQ = 60°，
∴ PQ = CP = CQ（即△CPQ是等邊三角形），
∠QPC = 60°，
∴ ∠QPD = ∠DPC = 30°，
∴ ∠BPQ = ∠BPC = 150°，
在△BPQ 和△BPC 中，
BP = BP ，∠BPQ = ∠BPC ，PQ = PC ，
∴△BPQ ≌ △BPC（SAS）
∴ ∠QBP = ∠PBC = 10°，
∴ ∠ABQ = 30°，
∴ ∠ABQ = ∠ACQ = 30°，
∴ A、B、C、Q 四點共圓，
∴ ∠QAC = ∠QBC = 20°，
∴ ∠PAC = 20°，
∴ ∠BPA = 60°。
【附注】對四點共圓不是很熟練的同學也可以用相似三角形來求∠PAC的度數。過程如下（如下圖）：
∵∠ABQ =∠ACQ = 30°，∠AEB=∠QEC，
∴△AEB ∽△QEC，
∴AE:EQ=BE:CE，
∵∠AEQ= ∠BEC ，
∴△AEQ ∽ △BEC ，
∴∠QAC =∠QBC = 20°，
∴∠PAC = 20°，
∴∠BPA = 60°。
二、利用角平分線構造全等三角形，結合等腰三角形的性質求角的度數。
【題目】
已知，在△ABC中，AB = AC ，∠BAC = 80°，點P 是△ABC内的一點，∠PBC = 10°，∠PCA = 20°，連接AP ，求∠BAP 的度數。
【本題考點】
等腰三角形的性質（等邊對等角），三角形的内角和定理，三角形的外角定理，全等三角形的判定與性質。
【解析】
解：作∠BAC的平分線AD ，延長CP交AD于點D ，連接 BD 。
∵ AB = AC ，∠BAC = 80°，
∴ ∠ABC = ∠ACB = 50°，
∵ AB= AC ，∠BAD = ∠CAD ，AD = AD ，
∴ △BAD ≌ △CAD（SAS） ，
∴ ∠ABD = ∠ACD = 20°，
∵ ∠PBC = 10°，
∴ ∠PBD = 50° — 20°— 10°= 20°= ∠ABD ，
∵ ∠PCB = 50°— 20° = 30°，
∴ ∠BPD = 10° + 30° = 40° = ∠BAD ，
在△BPD 和△BAD中，
∠PBD = ∠ABD ，∠BPD = ∠BAD ，BD = BD ,
∴ △BPD ≌ △BAD （AAS），
∴ BP = BA ，
∴ ∠BAP = ∠BPA = （180°— 40°）/ 2 = 70°。
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