羅素悖論(Russell's paradox),也稱為理發師悖論,是羅素于1901年提出的悖論,一個關于類的内涵問題。羅素悖論當時的提出,造成了第三次數學危機。
“理發師悖論”内容
一位理發師說:“我隻幫所有不自己刮臉的人刮臉。”
那麼理發師是否給自己刮臉呢?如果他給的話,但按照他的話,他就不該給自己刮臉(因為他'隻'幫不自己刮臉的人刮臉);如果他不給的話,但按照他的話,他就該給自己刮臉(因為是'所有'不自己刮臉的人,包含了理發師本人),于是矛盾出現了。
我們通常希望:任給一個性質,滿足該性質的所有類可以組成一個類。但這樣的企圖将導緻悖論:
羅素悖論:設命題函數P(x)表示“x∉x”,現假設由性質P确定了一個類A——也就是說“A={x|x ∉ x}”。那麼現在的問題是:A∈A是否成立?首先,若A∈A,則A是A的元素,那麼A具有性質P,由命題函數P知A∉A;其次,若A∉A,也就是說A具有性質P,而A是由所有具有性質P的類組成的,所以A∈A。
羅素悖論還有一些更為通俗的描述,如理發師悖論、書目悖論。
書目悖論:
書目悖論與理發師悖論基本一緻。可以說是羅素悖論的另一種通俗表達形式。内容是:一個圖書館要編纂一本書,其内容是列出該圖書館裡所有不列出自己書名的書的名字。那麼作為目錄的書該不該列出自己的書名?
有話要說...