幾何模型 | 與圓有關的最值問題-瓜豆模型
在輔助圓問題中，求關于動點最值問題的方式之一——求出動點軌迹，即可求出關于動點的最值．
我們繼續讨論另一類動點引發的最值問題，在此類題目中，題目或許先描述的是動點P，但最終問題問的可以是另一點Q，當然P、Q之間存在某種聯系，從P點出發探讨Q點運動軌迹并求出最值，為常規思路．
運動軌迹-圓【例1】如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP，Q為AP中點．
考慮：當點P在圓O上運動時，Q點軌迹是什麼樣的呢？
【解析】可以通過觀察動圖可知點Q的軌迹是一個圓，而此圓與圓O有什麼關系呢？
因為Q點始終為AP中點，連接AO，取AO中點M，QM是三角形APQ的中位線，半徑MQ是OP一半，則M點即為Q點軌迹圓圓心。任意時刻，均有QM:PO=AQ:AP=1:2．
【小結】确定Q點軌迹圓，确定其圓心與半徑，
由Q為AP中點可得：AM=1/2AO，QM=1/2PQ．
Q點軌迹相當于是P點軌迹成比例縮放．
根據動點之間的相對位置關系分析圓心的相對位置關系；
根據動點之間的數量關系分析軌迹圓半徑數量關系．
【例2】如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP．
考慮：當點P在圓O上運動時，Q點軌迹是？
【解析】将AP繞點A逆時針旋轉90°得AQ，旋轉不會改變圖形的大小和形狀，所以Q點運動軌迹與P點軌迹是一樣的，都是圓．然後來确定該圓心與半徑．
易得：△APO≌△AQM．
所以圓心就是點O繞點A逆時針旋轉90°得到的點M；
半徑等于圓O的半徑
【例3】如圖，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，當P在圓O運動時，Q點軌迹是？
【解析】方法同例2，将△APQ繞點A逆時針旋轉90°，且将比例縮小，放縮前後比為2：1.
則△APO∽△AQM，且相似比為2．
所以圓心就是點AO繞點A逆時針旋轉90°且取原長的一半得到的點M；
半徑等于圓O的半徑的一半
【模型總結】
為了便于區分動點P、Q，可稱點P為“主動點”，點Q為“從動點”．
主動點、從動點與定點連線的夾角是定量（∠PAQ是定值）；
主動點、從動點到定點的距離之比是定量（AP:AQ是定值）．
【結論】
（1）主、從動點與定點連線的夾角等于兩圓心與定點連線的夾角：∠PAQ=∠OAM；
（2）主、從動點與定點的距離之比等于兩圓心到定點的距離之比：AP:AQ=AO:AM，也等于兩圓半徑之比．
按以上兩點即可确定從動點軌迹圓，Q與P的關系相當于旋轉+伸縮．
古人雲：種瓜得瓜，種豆得豆．“種”圓得圓，“種”線得線，謂之“瓜豆原理”．
【練習1】如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP，以AP為一邊作等邊△APQ．
考慮：當點P在圓O上運動時，Q點軌迹是？
【解析】Q點滿足（1）∠PAQ=60°；（2）AP=AQ，故Q點軌迹是個圓：
∠PAQ=60°，可得Q點軌迹圓圓心M滿足∠MAO=60°；
AP=AQ，可得Q點軌迹圓圓心M滿足AM=AO，且可得半徑MQ=PO．
△APO≌△AQM，即可确定圓M位置和大小
【小結】可以理解AQ由AP旋轉得來，故圓M亦由圓O旋轉得來，旋轉角度與縮放比例均等于AP與AQ的位置和數量關系．
【練習2】如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP，以AP為斜邊作等腰直角△APQ．
考慮：當點P在圓O上運動時，如何作出Q點軌迹？
【解析】Q點滿足（1）∠PAQ=45°；（2）AP:AQ=根号2：1，故Q點軌迹是個圓．
連接AO，構造∠OAM=45°且AO:AM=根号2：1．M點即為Q點軌迹圓圓心，此時任意時刻均有△AOP∽△AMQ．即可确定點Q的軌迹圓．
【思考】如圖，點P（3,4），圓P半徑為2，A（2.8,0），B（5.6,0），點M是圓P上的動點，點C是MB的中點，則AC的最小值是_______．
運動軌迹-線段【例4】如圖，P是直線BC上一動點，連接AP，取AP中點Q，當點P在BC上運動時，Q點軌迹是？
【解析】 分别過A、Q向BC作垂線，垂足分别為M、N，在運動過程中，因為AP=2AQ，所以QN始終為AM的一半，即Q點到BC的距離是定值，故Q點軌迹是一條直線．
所以：當P點軌迹是直線時，Q點軌迹也是一條直線．
【例5】如圖，△APQ是等腰直角三角形，∠PAQ=90°且AP=AQ，當點P在直線BC上運動時，求Q點軌迹？
【解析】當确定軌迹是線段的時候，可以任取兩個時刻的Q點的位置，連線即可，比如Q點的起始位置和終點位置，連接即得Q點軌迹線段．
當AP與AQ夾角固定且AP:AQ為定值的話，P、Q軌迹是同一種圖形
【模型總結】
主動點、從動點與定點連線的夾角是定量（∠PAQ是定值）；
主動點、從動點到定點的距離之比是定量（AP:AQ是定值）．
【2020重慶八中周考】如圖，在等邊△ABC中，AB=10，BD=4，BE=2，點P從點E出發沿EA方向運動，連結PD，以PD為邊，在PD的右側按如圖所示的方式作等邊△DPF，當點P從點E運動到點A時，點F運動的路徑長是________；點F到點A的最短距離是________。
【解析】根據△DPF是等邊三角形，所以可知F點運動路徑長與P點相同，P從E點運動到A點路徑長為8，故此題答案為8．
F點運動路徑長與P點相同，所以F點運動軌迹也是線段，取兩個特殊點确定出軌迹易得AF最小為：3倍根号3
運動軌迹-其它【例題】如圖所示，AB=4，AC=2，以BC為底邊向上構造等腰直角三角形BCD，連接AD并延長至點P，使AD=PD，則PB的取值範圍為___________．
【解析】固定AB不變，AC=2，則C點軌迹是以A為圓心，2為半徑的圓，以BC為斜邊作等腰直角三角形BCD，則D點軌迹是以點M為圓心、根号2為半徑的圓
考慮到AP=2AD，故P點軌迹是以N為圓心，2倍根号2為半徑的圓，即可求出PB的取值範圍．
【總結】掌握“瓜豆原理”的關鍵，就是主動點的軌迹與從動點的軌迹是相似性。
根據主、從動點與定點連線形成的夾角以及主、從動點到定點的距離之比，可确定從動點的軌迹圓，從而求出動點軌迹圓心和半徑。而當主動點軌迹是其他圖形時，從動點軌迹也相應的會是其他圖形．
最新文章
-
“豫西中醫界之泰鬥喬保均”治療疑難病60年經驗賞析
12小時前 -
回憶、健忘和灑脫
13小時前 -
弘一法師：“真的不忍心告訴你，這個世界隻是一個夢。你一輩子執
13小時前 -
心理學，準的讓你驚叫
13小時前 -
人生，成大器者有四識，知識、見識、膽識、遠識
13小時前 -
俞和：被遺忘的書法家，以古為師，創新在手！
14小時前 -
2024屆新高考II卷語文真題答案及解析
14小時前 -
生前隻是小人物，死後震驚史學界
14小時前
熱門文章
-
每日一誦傷寒論第241條
1周前 -
老張老李侃門球之140篇
2天前 -
診餘雜記（師傳經驗）
4天前 -
為什麼五點鐘要起床答案讓人吃驚！（現在知道還不晚）
1周前 -
這個穴位可以治療多種胃痛腹痛，還可以減肥
6天前 -
治療坐骨神經痛藥酒５方
1周前 -
美麗中國-2870：中國最大的内陸河，塔裡木河
2天前 -
二十四山開門放水作竈真訣開門放水作竈直訣——子山
2天前
有話要說...