已知x,y是銳角,且sin(x+y)=sin2x+sin2y,則有x+y=π/2.
這是一道俄羅斯數學競賽題,昨天發了一個解答,但考慮到也未見得簡便,就删除了,下面提供一種速解:
設△ABC中,外心為O(半徑為R),A=x,B=y,C=π-(x+y),取AB的中點D,則D關于△ABC的重心坐标為D(1,1,0),由平面兩點的距離公式
(林根等,中等數學,1998,4,p.18)
如果取Q為O,則有
(Σλ1)2R2=Σλ1λ2c2+(Σλ1)2OP2,①
則有
(1+1+0)2R2=c2+(1+1+0)2OD2,
4R2=c2+4OD2,②
由已知易見
2Rc=a2+b2,③
把③代入②即見
由題意A,B是銳角,則C≥π/2,則餘弦定理知,a2+b2≤c2,
此代入④知,OD2≤0,所以O與D重合,則知C為Rt∠.
謝謝閱讀!
有話要說...