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一道俄羅斯競賽題的速解

已知x,y是銳角,且sin(x+y)=sin2x+sin2y,則有x+y=π/2.

這是一道俄羅斯數學競賽題,昨天發了一個解答,但考慮到也未見得簡便,就删除了,下面提供一種速解:

設△ABC中,外心為O(半徑為R),A=x,B=y,C=π-(x+y),取AB的中點D,則D關于△ABC的重心坐标為D(1,1,0),由平面兩點的距離公式

一道俄羅斯競賽題的速解

(林根等,中等數學,1998,4,p.18)

如果取Q為O,則有

(Σλ1)2R2=Σλ1λ2c2+(Σλ1)2OP2,①

則有

(1+1+0)2R2=c2+(1+1+0)2OD2,

4R2=c2+4OD2,②

由已知易見

2Rc=a2+b2,③

把③代入②即見

一道俄羅斯競賽題的速解

由題意A,B是銳角,則C≥π/2,則餘弦定理知,a2+b2≤c2,

此代入④知,OD2≤0,所以O與D重合,則知C為Rt∠.

謝謝閱讀!

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