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通過一道美國數學競賽題,學習添加輔助線的邏輯思路

中學數學的幾何類題目中,可以說絕大部分是需要通過添加輔助線來幫助求解問題的,但如何恰當地添加輔助線卻是很多同學困惑的。下面通過一道美國中學的數學競賽題,來初步學習如何有邏輯地添加輔助線。

如圖所示,△ABC是等腰三角形,∠B=∠C=40°,延長AB至點D,使得AD=BC。求∠BCD。

題目給定的條件就兩個,顯然需要通過添加輔助線來幫助求解。

分析:題目給定的條件中,兩個角等于40°很容易利用到,問題的關鍵在于如何處理AD=BC。現在這兩條線段既不平行,也不垂直,處于互相獨立的狀态,那就要想辦法聯系起來。

一個很容易想到并且有邏輯的思路就是讓AD與BC構成一個三角形的兩條邊,這樣就能構建一個等腰或者等邊三角形,容易計算角度。具體到這個題目中,考慮到∠A=100°,如果作等邊三角形後,把∠A分成60°和40°後,能夠與已有的40°角相聯系,可能會有相似三角形或全等三角形。

那就過點A做線段AE=AD,使∠DAE=60°。連接DE、CE。如圖所示。

這樣就得到了一個等邊三角形ADE。∠CAE=100°-60°=40°。

△ABC和△CAE中,

∵AB=AC,BC=AE,∠ABC=∠CAE=40°,

∴△ABC≌△CAE。

∴∠AEC=40°,∠ACE=100°,AC=CE。

因此,在△ADC和△EDC中,AD=DE,DC是公共邊,AC=CE,

∴△ADC和△EDC是全等三角形。

∴ACD=100°/2=50°

∴BCD=50°-40°=10°

由此得解。

小結:在三角形問題中,将已知條件通過輔助線集中到一個三角形内,可以将問題化難為簡。

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