1.難度: (丢番圖是古希臘數學家,被譽為“代數學之父”。而丢番圖的墓碑,就包含了一個很有趣的數學 問題)以下就是丢番圖的墓碑原文,同學們能從其中看出丢番圖一共活了多少歲嗎?
上帝給予的童年占六分之一,
又過十二分之一,兩頰長胡,
再過七分之一,點燃起結婚的蠟燭。
五年之後天賜貴子,
可憐遲到的甯馨兒,享年僅及其父之半,便進入冰冷的墓。
悲傷隻有用數論的研究去彌補,
又過四年,他也走完了人生的旅途。
【解析】題目中的數量都與丢番圖的年齡直接相關,因此可以考慮列方程求解:
設丢番圖活了x歲。可以根據題目條件列出方程
移項後得到
,解得
。
所以丢番圖一共活了84歲。
巧解:由題目條件也可簡單地列出算術式:
或者利用6、12、7的最小公倍數是84。也可以快速算出!
2.難度:
任意給定2008個自然數,證明:其中必有若幹個自然數,和是2008的倍數(單獨一個數也當做和)。
【解析】把這2008個數先排成一行:
第1個數為
;
前2個數的和為
;
前3個數的和為
;
……
前2008個數的和為
.
如果這2008個和中有一個是2008的倍數,那麼問題已經解決;如果這2008個和中沒有2008的倍數,那麼它們除以2008的餘數隻能為1,2,……,2007之一,根據抽屜原理,必有兩個和除以2008的餘數相同,那麼它們的差(仍然是
,中若幹個數的和)是2008的倍數.所以結論成立.
有話要說...