從圓的基本概念和基本性質說起
王 橋
中考中，并不見得所有題目都是那些涵蓋了較多知識點、綜合性較強、計算量較大、方法不容易想的“壓軸題”，還有些題目，從考察最基本的概念和性質入手，難度也不算很大，但要想真正作對，卻不很容易。
下面相關内容均選自《沙場秋點兵》“圓的基本性質”一講的第一個考點“圓的基本概念和性質”【挑戰中考1】“圓的基本概念及性質”的“基礎知識”和“典型例題”部分。
（一）基礎知識
1、圓的定義：平面上到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形 叫做圓。其中定點稱為圓心，定長稱為半徑。
2、圓的基本性質：同圓或等圓的半徑相等。
3、點與圓的位置關系：點在圓外，則這個點到圓心的距離大于半徑；點在圓上，則這個點到圓心的距離等于半徑；點在圓内，則這個點到圓心的距離小于半徑。
4、圓上任意兩點和兩點之間的部分叫做圓弧，簡稱弧。連接圓上任意兩點之間的線段叫做弦。經過圓心的弦叫做直徑——直徑是圓内最大的弦。
5、圓的直徑的兩個端點把圓分成的兩條弧，每一條弧都叫半圓；同圓或等圓中，能夠重合的兩條弧叫做等弧
（二）典型例題
說明：這5道題目，老王曾經挑選出20名中上等學生進行限時10分鐘測試訓練，這5道題目的正誤情況如下：
題号 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
作對個數 |
5 |
14 |
13 |
18 |
1 |
雖然僅僅是個小範圍的測試，但是也是能說明一些問題的。
我們先看例1的第（1）小題：
居然隻有5名同學做對。經過分析，第1小題雖然做對了5名同學，但至少2名同學是蒙對的。第1小題不會做或者做錯的原因主要有以下幾點：
1、任意點恐慌：題目中“P是⊙上任意一點”，許多同學對“任意”不理解，以為點P是不确定的從而導緻矩形OMPN的大小形狀及位置也是不确定的，以緻解題沒有策略。關于“任意”問題，咱們在《沖刺十招》第1講“絕境逢生用'特值’”将會專門講述。
2、動态旋轉恐慌：平移變換、軸對稱變換和旋轉變換這三大動态全等變換是中考中比較難的内容。這裡點P就是“動點”，而關于“動點問題”，我們也将在《沖刺十招》第9講“搞定'動态問題’”進行專門講解。其是，這道題目是個“僞動點問題”！
3、軌迹恐慌：“軌迹問題”也是中考中較難的内容。讓求點Q運動的路經長，就要判斷點Q的軌迹。在還沒有進入一輪、二輪複習的時候，估計很少有老師能夠有時間給孩子們講一下什麼“瓜豆原理”吧？點P的軌迹是圓弧形，那麼點Q的軌迹是什麼形狀呢？
4、沒有圓裡面的輔助線策略（如果有時間，咱們再繼續探讨下圓裡面的輔助線策略）：其實這才是最根本最重要的！
萬丈高樓平地起，我們講方法、講模型、講思維、講思想......基本定義和基本性質才是最基礎最重要最根本的。我們知道：圓是平面内到定點的距離等于定長的所有點的集合；由圓的定義又得到了“同圓或等圓的半徑相等”的這個最基本的性質。鑒于此，老王說：幾乎圓上的所有點都要和圓心發生關系！這也是圓裡的第一條輔助線“做半徑”的理論基礎（關于輔助線，詳見《春季攻勢》第15講“輔助線秘籍”）。
其實這道題目很簡單：
老王認為，這道題目考察了圓的基本性質、矩形的性質、弧長的計算等最基本的知識，不失為一道“好題”。
我們再看例1的第（2）小題：
仍然有6名同學做錯。正确的答案如圖所示：
經過分析，學生大多在以下兩個方面出現了問題：一是對題意沒有弄明白；二是對圖形可能出現的各種情況沒有考慮周全。其實，這道題考察了同圓的半徑相等、點的坐标的幾何意義、勾股數等相關知識，如果再能夠靈活運用圓的對稱性，則不難找出符合這樣的點有12個。
老王認為，這也是一道“好題”！
例2的第（1）小題：
這道題目主要考察點和圓的位置關系，以及“點圓距離”。畫出如圖1和圖2所示的圖形即可解答。
很顯然，對于圖1中，當點P在圓的外部時，此時PA=4，PB=9，則圓的半徑為（PA-PB）÷2=（9-4）÷2=2.5；對于圖2中，當點P在圓的内部時，此時PA=4，PB=9，則圓的半徑為（PA+PB）÷2=（9+4）÷2=6.5；
但是，這個題目也有兩個需要突破的地方：一是對題目中“點P是非圓上一點”的理解；二是需要點在圓外和點在圓内兩種情況分類讨論；三是對“點圓距離”的理解。
例2的第（2）小題：
這道題目相比較而言是最簡單的，考察了含30°角的直角三角形的三邊關系（或30°角的三角函數），但是仍然有兩個同學不注重分類讨論而漏解。
例2的第（3）小題：
這道題目居然隻有1個同學做對，難道真的很難麼？
在是你們不妨分析下這道得分率最低的題目：
1、首先，我們要明白：經過圓内某一點的最長的弦是經過這一點的直徑（直徑的定義是：經過圓心的弦叫做直徑。所以直徑是圓内最長的弦）；經過圓内某個點的最短的弦，是與過這一點的直徑垂直的弦；如圖1，CD為經過點P的最長的弦，AB為經過點P的最短的弦；
2、題目中已經知道了圓的半徑為5，OP=3，則連接OP，根據勾股定理即可求出AP=4，則AB=8。又∵CD=10，∴經過點P的弦中，弦長為整數的弦的長度隻能為8，9，10；
3、其實，比較黑的還在後頭：因為圓的對稱性，長度為9的弦應該有兩條，如圖2，所以應該填4.
可惜大多數同學都填了3——忘記了圓的對稱性，現場為9的弦應該有2條啊！
老王認為，這仍然是一道“好題”！
這幾道題目，你做對了幾道呢？
這幾道題目都沒有太大的計算量，所考察的也都是最基本的概念和性質，但是同學們做的卻不甚理想。究竟原因何在呢？
《沙場秋點兵》，好題集中營！——秋季将要結束了！
一輪将至，一輪以夯實基礎為主，建立知識系統和方法系統為主。但是，基礎知識往往是老師和同學們容易忽略的或者不容易講清楚的。能把最基礎的真正講明白其實也是很不容易的啊！
一輪複習，你準備好了嗎？
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