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一道有趣的初中幾何題,已知兩個角是30度和45度,求一個非特殊角

如圖,∠ADB=30°,∠ACB=45°,AC=CD。求∠A的值。

△ACB和△ADB雖然各有一個特殊角,但卻并非特殊三角形,如何入手呢?

分析:遇到這樣的題目,有一個30°角和一個45°角,絲毫不用猶豫,肯定是要構建一個直角三角形。

先試着過點A做BC的垂線,這樣雖然用到了∠ACB=45°的特點,但似乎跟AC=CD這個條件沒啥關系。

再試着過點A做BD的垂線,交BD于點E,這樣就構建了一個Rt△AED,且其中一個角是30°角。這時能夠發現點C是Rt△AED斜邊的中點,連接EC,如圖所示。

易得:在Rt△AED中,∠ADB=30°,所以AE=1/2AD;

點C是斜邊的中點,所以EC=AC=CD;

則有AC=CD=AE=EC。

于是△AEC是等邊三角形,∠CAE=60°

在△BCD中,∠BCD=180°-45°=135°,

可得∠CBD=180°-135°-30°=15°;

同時易得∠BCE=60°-45°=15°,

所以△BEC是等腰三角形,BE=EC;

同時在△ABE中,可知AE=BE,所以△ABE是等腰直角三角形,∠B
AE=45°

所以∠BAD=60°+45°=105°。

總結:題目的關鍵點在于兩點,一是根據已知條件,構建直角三角形,這是這類題目必然的;二是掌握直角三角形斜邊上的中點到三個頂點的距離相等。掌握這兩點,題目就迎刃而解。

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