已知2BC=CD,求∠D。你會做嗎?
從圖中可以看到,∠ABC=45°,∠ACD=60°,45°和60°是特殊角,在直角三角形中非常有用,我們是不是要去構造直角三角形呢?如何構造?
比較容易想到的是過點A作BD的垂線。
但是作出這條輔助線,并沒有給我們太多的有效信息。
除此之外,我們還可以過點D作AC的垂線。
如圖,DE⊥AC。
∠BDE=30°,三角形CDE為30°、60°直角三角形,2CE=CD。
而2BC=CD,由此可得CE=BC。
接下來我們連接BE,就能得到一個等腰三角形BCE,∠BEC=∠EBC。
根據三角形的外角定理(三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個内角之和),
∠BEC+∠EBC=∠ACD=60°,∠ABC+∠BAC=∠ACD=60°,
所以∠BEC=∠EBC=30°,∠BAC=∠ACD-∠ABC=60°-45°=15°,
∠ABE=∠ABC-∠EBC=45°-30°=15°。
∠EBD=∠BDE=30°,∠BAE=∠ABE=15°,
三角形BED和三角形ABE都是等腰三角形,
BE=DE,BE=AE,
等量代換可得DE=AE,
也就是說三角形ADE為等腰直角三角形,∠ADE=45°,
∠D=∠ADE+∠BDE=45°+30°=75°。
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