什麼是黃金比例？（黃金比例多種證明）
幾個世紀以來，黃金比例一直被譽為藝術和建築中最美麗的比例。從帕台農神廟到薩爾瓦多·達利 (Salvador Dali) 的《最後的晚餐聖禮》，黃金比例已被發現潛伏在世界上一些最著名的作品中。
用希臘字母 phi (φ) 表示，黃金比例是非理性值：

歐幾裡得和黃金比例
在The Elements的第6卷中，Euclid 給了我們黃金比例的定義。
他指示我們取一條線段并将其分成兩個較小的線段，使得整個線段( a+b) 與線段 a的比率與線段 a 與線段 b的比率相同，如下所示：

或者

黃金矩形
黃金比例最常表示為黃金矩形，一個邊長比為 1.618:1 的矩形。
黃金矩形還有一個特性，如果你切掉一個正方形，你又會得到另一個黃金矩形。

解決黃金比例
要找到值 1.618034... 的來源，我們必須求解比例。為簡單起見，假設b=1和a=x以便您可以求解x。

步驟1
取交叉

第2步
減去 x+1 将方程設置為零。

我們現在有一個标準的二次方程，其中a=1、b=-1和c=-1。
第 3 步
将這些值代入二次公式并求解。

得正解

為了更好地衡量，插入a=1.618和b=1以确認比例成立。

現在我們可以用它本身來寫黃金比例！

或者等效地，

用φ=1 + 1/φ 代替分母中的φ。

讓我們再來一次！

黃金比例可以寫成一個無限連分數。
尋找斐波那契
我們可以使用連分數來近似黃金比例并發現與斐波那契數列的有趣關系。
步驟1
首先，我們将稍微改變我們的連分數。
我們将添加下标，而不是編寫嵌套在自身中的公式，以指示可以從前一個值 (φ_n) 生成下一個值 (φ_n+1)。

由于這是一個無限連分數，随着n 的增加，近似值更接近于 φ 的真實值。
第2步
定義 φ_0 = 1 。求φ_1 插入n=0。

第 3 步
重複該過程以找到 n=1 的 φ_2，因為 φ_2 = φ_1+1。将步驟 2 的結果用于 φ_1。

步驟4
繼續重複這個過程。


第 5 步
看看這個。有斐波那契數列！每個近似值是兩個相鄰斐波那契數的比值。我們不再需要将值插入連分數的麻煩，我們可以簡單地劃分斐波那契數列的連續項。我們不再需要将值插入連分數的麻煩，我們可以簡單地劃分斐波那契數列的連續項。

随着每次計算的進行，我們發現我們對黃金比例的近似值越來越接近其真實值。
事實上，F(n+1)/F(n) 的極限為 n → ∞（其中 F(n) 和 F(n+1) 表示斐波那契數列中的第 n 和第 n 加 1 項）收斂到φ。
在視覺上，我們可以看到斐波那契數列如何生成越來越接近夢寐以求的黃金矩形的矩形。

雖然設計界可能在争論黃金比例是否是民間傳說，但我可以肯定地說，黃金比例在數學上非常的有趣。
同學你學“廢”了嗎？
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