集合邏輯的探讨-1

集合邏輯的探讨

1、集合邏輯的由來

2、集合邏輯中的有限和無限

3、集合邏輯中的集合進階

4、集合邏輯中的集合對應

5、集合邏輯中的集合交集

6、集合邏輯中的集合符号

7、集合邏輯的概念創造

一

集合邏輯的根底在概念邏輯中，是從概念邏輯中發展出來的一個分枝架構。

我在概念邏輯的探讨中，揭示了概念具有抽象統攝的功能和能動，即任何一個概念都具有抽象概括地統攝一切可以被它所統攝的對象的功能和統攝。例如，星球這個概念可以抽象統攝一切被稱之為星球的對象，機器這個概念可以抽象統攝一切被稱之為機器的對象，生物這個概念可以抽象統攝一切被稱之為生物的對象。

概念所普遍具有的抽象統攝的功能和能動，這種抽象統攝實際地發生了一種概念的集合，集一切概念都在抽象統攝一切可以被它統攝的對象中，使得一切對象都在人類的概念意識運作中，處在了各種各樣的集合關系中。一個對象既可以處在甲種集合關系中，又可以處在乙種集合關系中，還可以處在丙種集合關系中或丁種集合關系中。至于它此時此刻處在哪種集合關系中，則是由概念意識活動此時此刻處在怎樣的概念抽象統攝中所決定的。一匹汗血馬，究竟是處在動物世界的集合關系中，還是處在哺乳動物的集合關系中，抑或處在國家禮品的集合關系中，是由此時此刻的概念運作關系所決定的。

概念的運作和能動必然帶來各種各樣的集合關系，當種種集合關系發展到一定的程度，必然帶來集合邏輯在人類概念創造活動中的生成和發展，以及越來越實際的，從簡單到複雜，從低級到高級的概念抽象運作和反饋于實踐創造的應用。

自萊布尼茨提出可以設定一種标準的語言公式，把人們提出的各種思想統攝地輸入到這樣的語言公式中運算，就可以得到一種絕對的真和假的處理結果時，這樣的設想，内在地包含了一種集合邏輯的思考，即把人類的一切思想活動集合到一種标準公式或标準模型中進行邏輯的處理，得到邏輯處理的結果。電子計算機技術的發展，則使得萊布尼茨的設想得到了某種實現的可能和希望。計算機技術的運用，日益發展地把各種各樣的對象轉化為二進制的數碼，在各種軟件的集合邏輯中獲得它們的邏輯必然的處理，如顔色的數碼集合邏輯處理，圖形的數碼集合邏輯處理，聲音的數碼集合邏輯處理，以及各種各樣的數碼集合邏輯處理，特别是互聯網搜索的數碼集合邏輯處理，大數據的數碼集合邏輯處理等等，越來越顯現了計算機數碼集合邏輯處理的重要意義，驅動着一個新的概念邏輯分枝的出現和發展。可以這樣說，集合邏輯正在成為概念邏輯的一個新的重要架構和分枝，是邏輯學的一個新的重要發展和内容。

集合邏輯在概念邏輯中的隐含和越來越實際地顯現，需要我們以思想的聚焦，進行揭示和探讨。

二

集合邏輯有兩個基本類型：一是封閉的有限集合，封閉的有限集合的邏輯關系比較簡單；二是開放的無限集合，開放的無限集合的邏輯關系則很不簡單，需要極為深入的探讨和琢磨。

有限集合，如一個教室有40個座位，可以滿坐40個學員；一輛客車有60個座位，可以滿坐60個乘客等等。從集合的角度講，有限集合的邏緝關系是：設有限集合框架為【A】，即這個教室或客車的有限集合位子占滿數為A；設空缺數為V，實有數為B時，在有限集合【A】的框架下，實有數就是B = A或B = A-V。當B = A+時，這個有限集合就超出了【A】的有限集合框架。

這是有限集合的基本邏輯關系。有限集合的特點是，它是有限定框架的，是有它的有限框架的絕對值的。

無限集合則不然。無限集合是開放的，相對于有限集合是沒有它的有限框架的，以及有限框架的絕對值的。例如，自然數、分數、奇數、偶數、素數等等都有自己的無限系列，在每一個數值後面都會出現有新的數值湧現；對于圓周率來說，它的數值系列是無限伸展湧現的，圓周率 = 3.141 5926··· 的後面的小數是一個無限伸展的系列；對于收斂級數來說也是這樣，1 =1/2+1/4+8/1+1/16+1/32+1/64+1/128··· 的後面是一個無限伸展的系列，對于2的開方來說，它平方根=1.414213562373 ···的後面亦是一個無限伸展的系列。這樣的無限系列會越來越精細和精确，但永遠不會有一個最後終止的絕對值。

無限集合在數學上帶來了的基本邏輯關系是：1、整體無限和部分無限的平行和相同；2、隻有無限伸展的精确值而沒有最後終止的絕對值。

此外，無論宏觀世界還是微觀世界的觀察和概念抽象，亦是無限伸展的。

無限的觀察和概念抽象思考，在微觀世界和宏觀世界帶來沒有終止的邊界和無限伸展的層次系列。盡管時有宏觀有限，微觀有限，時空有限等等的概念抽象和見解在不斷出現，但這些概念抽象和見解總是蒼白地擋不住無限的概念抽象和思想的穿越。人類大腦的概念思維思考總在追問，在我們所處的宇宙之外和再之外是什麼？在基本粒子的深處的再深處是什麼？在宇宙大爆炸之前和再之前是什麼？等等。

無限集合的概念抽象在哲學家們的頭腦中，産生了“惡無限”、“潛無限”，“實無限”，以及邏輯悖論等等的觀念。

所謂惡無限，如，整體和局部在無限系列的展開中沒有大小之分。舉例來說，自然數包含了奇數和偶數，在這樣的關系中，自然數是整體，奇數和偶數是部分。然而，在集合對應中，奇數和偶數的無限序列可以平行地一一對應自然數的無限序列。如自然數1、2、3、4、5、6、7、8 ···是一個無限的系列，奇數1、3、5、7、9、11、13 ···亦是一個無限的系列；偶數2、4、6、8、10、12、14 ···也是一個無限的系列。用奇數1、3、5、7、9、11、13··· 或偶數2、4、6、8、10、12、14··· 一一對應自然數1、2、3、4、5、6、7、8··· ，在彼此的無窮無盡的延伸中，它們是可以無限對應地伸展而沒有大小之分的。在無限伸展的集合對應中，整體大于部分，部分小于整體是不存在的。由此在邏輯上出現了一種違反常識的惡無限。

又如，把一切都放在無窮無盡的序列伸展中思考時，比如，在微觀世界，分子的深處有原子，原子的深處有質子、中子、電子，質子、中子；電子的深處有誇克，誇克的深處有多維卷曲的弦，弦的深處又有更為深處的東西，等等，始終沒有一個可以最後終止的底部根基形态；在宏觀世界，地球外有太陽系、太陽系外有銀河系，銀河系外有總星系，總星系外有宇宙之外，宇宙之外有外宇宙，等等，始終沒有一個可以最終停止的擴展。思想不僅要問，這個世界究竟是個什麼呀？無限深入的微觀世界和無限擴展的宏觀世界，其無限集合的邏輯使我們的整個概念抽象陷入了一種世界無以最終定形的惡無限中。

所謂潛無限，即在每一個概念抽象統攝都内含了潛無限。例如，無論自然數的概念抽象統攝，奇數的概念抽象統攝，偶數的概念抽象統攝，分數的概念抽象統攝，素數的概念抽象統攝，圓周率的概念抽象統攝，收斂級數的概念抽象統攝，都潛在着它們各自的無限系列，每一個數值後面都潛在着必将跟随出現的數值。又如，在人類技術和産品創造的概念抽象統攝中，創造是一個潛無限，不斷會有新的技術和産品創造的生成和湧現，展現一種潛無限的魅力和存在。

所謂實無限是一種邏輯倒置。如把收斂級數1 =1/2+1/4+8/1+1/16+1/32+1/64+1/64+1/128··· 倒過來， ···1/128+1/64++1/64+1/32+1/16+8/1+1/4+1/2=1，1就是這個收斂級數的實無限，即這個收斂級數集合的全體所在。

邏輯學家們設想在是否可以在無限集合的邏輯處理中，找到無限集合全體所在的實現方式，使各種各樣的潛無限成為實無限。例如，萊布尼茨設想發明一種标準語言，使人類使用語言的潛無限，在一種标準公式的運算中，得到一種全體所在或可以統攝全體的真假判斷的實無限。而計算機技術的發明和運用就是根據這種設想，把一切現在的和潛在的無限湧現的對象全部轉化為二進制數碼的數字流，納入計算機的邏輯運算處理得到邏輯必然的處理和結果也就是說，在計算機背後的思想或邏輯原理實際上就是萊布尼茨的集合邏輯設想。正如美國學者馬丁 戴維斯所說，“計算機從20世紀50年代的塞滿整個房間的龐然大物，逐漸演變成今天輕巧而強大的能夠完成各種任務的機器，在這整個過程中，其背後的邏輯始終保持如一。這些邏輯概念是幾個世紀以來數位天才思想家一步步發展出來的。”

所謂邏輯悖論。如，哲學家克利特人艾皮米尼地斯說了一句很有名的話：“所有克利特人都說謊。他們中間的一個詩人這麼說。”這裡就内含了一個集合邏輯的悖論，即這個詩人作為克裡特人集合全體中的一員，他的話到底是真還是假的呢？如果為真，那麼這個詩人的話就不能為真，因為他屬于謊話者全體；如果為假，那麼他的話亦不能為真，因為這将否定他所有的克利特人都說謊話，也就是說，在任何一種場合，他的話都不能為真。于是就出現了一種邏輯悖論，即集合邏輯的悖論。

哲學家羅素也提出了相同的理發師悖論，即“一個給所有不給自己理發的人理發的理發師”的邏輯悖論。羅素的悖論引起了集合論的邏輯危機，即集合者本身的概念抽象是否在集合全體中。邏輯學家們最終用了一個“類”的概念來“解決”羅素的悖論，即設定一種高于全體集合的概念進階。邏輯學家們至今沒有圓滿地說明這裡的緣故，他們不了解在概念邏輯中有一個集合進階的基本架構，即集合進階的邏輯架構。如，動物這個概念抽象是一切可以被稱之為動物的對象的全體集合進階，但動物這個概念抽象并不是這個全體集合中的一員，動物隻是和隻能是這個全體集合進階的概念抽象。又如，在···1/128+1/64++1/64+1/32+1/16+8/1+1/4+1/2=1中，1是這個收斂級數的無限集合的全體所在，但1并不是這個無限集合的一員，而是這個無限集合的的集合進階。羅素提出集合邏輯悖論所造就的實際上是一個烏龍危機，其緣由在于，羅素和許多邏輯學家并沒有深入了解和懂得人類頭腦中的概念邏輯奧秘，以及概念邏輯中的集合進階原理，即任何一個集合進階的概念抽象都是高于這個集合的，它是這個集合全體的進階，不是這個集合全體中的一員。而要把握這點，當代邏輯學需要深入到人類的概念意識方式生成的文化進化的曆史進程，以及概念邏輯構造的基本原理。

關于無限，我們更需要深入了解和把握的是：

一切無限都是有限之态的無限，這點極為重要。例如，自然數的無限系列是以自然數為有限之态的無限，奇數的無限系列是以奇數為有限之态的無限，偶數的無限系列是以偶數為有限之态的無限，分子的無限系列是以分子為有限之态的無限，動物的無限系列是以動物為有限之态的無限，等等。人類頭腦中的一切無限之态的概念抽象都是有限之态的無限。離開了有限之态的無限則是一片空荒的虛無，是沒有任何存在的價值的。

無限是有限之态的無限的原理，一方面，決定了人類的邏輯創造可以積極地通過無限的有限之态，創立各種有效的邏輯處理工具，如計算機的應用在本質上是建立在無限的有限之态原理上的，是從有限之态的規定上，建立種種有限之态無限的邏輯處理工具。另一方面，也決定了不能設想一種不受有限之态規定的無限，而企圖獲得一種純粹的全無限，即沒有任何有限之态規定的邏輯處理工具，用這樣的邏輯處理工具決定一切，這樣的邏輯處理工具是根本不存在的，是違背人類概念邏輯生成和運動的原理的。