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将軍飲馬進階探讨:三線型的将軍飲馬問題

提出問題

三線型将軍飲馬問題

将軍飲馬進階探讨:三線型的将軍飲馬問題

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如圖,點P為△ABC内一點,M、N、O分别為AB、BC、AC上的動點。問:當M、N、O在何處時可使四邊形MNOP周長最小?

分析問題

這個問題有解嗎?如果有,那該怎麼做?

要解決這個較複雜的将軍飲馬問題,不妨先回顧一下簡單的将軍飲馬問題。

1、先來看最簡單的“兩點一線”

将軍飲馬進階探讨:三線型的将軍飲馬問題

先作其中一點的對稱點,然後連接對稱點和另一點,連線與直線的交點即為所求。

2、兩線一點

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一線變兩線,由原來的對稱一次變為對稱兩次。

3、兩線兩點

将軍飲馬進階探讨:三線型的将軍飲馬問題

兩線對稱兩次,靠哪邊哪邊為對稱軸。

以上為将軍飲馬問題的三個基本類型,可以看出:無論是一線型還是兩線型,最終都要歸結為兩點間的距離問題,基本依據都是兩點之間線段最短。由此,我們确定三線型的基本思路:基本依據不變,化曲為直,把4條線段轉化為一條線段,圖形基本變換仍然是優先考慮軸對稱。

解決問題

不妨先仿“兩線一點”試着畫一下

将軍飲馬進階探讨:三線型的将軍飲馬問題

P'P''顯然不是最短路徑,因為必須通過AB、BC、AC三條線,然而任何一條線段都不可能同時與這三條線相交!難道無解了嗎?别忘了轉化思想和對稱變換,隻要把AC沿BC對稱問題就可以迎刃而解。

将軍飲馬進階探讨:三線型的将軍飲馬問題

最後再把圖形和步驟整理完善一下

将軍飲馬進階探讨:三線型的将軍飲馬問題

步驟:

(1)分别作點P關于AB、BC的對稱點P'和P''

(2)作AC關于BC的對稱線段A'C

(3)作點P''關于A'C的對稱點P'''

(4)連接P'P''',分别交AB、BC、A'C于點M、N、O'

(5)過點O作OO'⊥BC,交AC于點O(相當于作點O'關于BC的對稱點O)

(6)連接PM、MN、NO、OP,四邊形MNOP即為所求

小結

将軍飲馬問題即利用軸對稱變換把折線路徑轉化為兩點間距離,化曲為直,依據兩點之間線段最短求得最短路徑,可利用兩邊之和大于第三邊作簡單證明。

三個步驟:①作對稱;②定交點;③連路徑。

補充

三線兩點

将軍飲馬進階探讨:三線型的将軍飲馬問題

三線三點

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三線三點實質是2個兩線兩點模型的組合

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