布爾——19世紀最重要的數學家之一，純數學源于他的《思維規律》
英國數學家對數學發展的貢獻是在獨創性方面。布爾的就是一個典型的例子。布爾的邏輯代數迅速發展成為純數學的一個主要分支。各國數學家們把它擴展到一切數學領域。伯特蘭·羅素說，
純數學是布爾在1854年出版的他的《思維規律》一書中發現的。
這表明了數學邏輯及其分支在今天的重要程度。布爾以前的其他人，特别是萊布尼茨和德·摩根，曾經夢想過要把邏輯本身加進代數的領域。布爾将它變成了現實。
布爾于1815年11月2日出生在英格蘭的林肯，是一個小店主的兒子，屬于社會底層。當時英國學校裡學生的目标是将來擔任當時開始流行的工廠和礦山的工頭。這些學校不是為布爾這類人設立的。布爾進的“國立學校”，主要目的在于把窮人留在适合他們的卑賤地位上。布爾所處的時代，懂得一點點可憐的拉丁文，或者再稍微懂一點希臘文，是一個上等人的标記。說來奇怪，靠死記硬背記住拉丁文的句法，卻被認為是最有用的腦力訓練。
布爾也趨之若鹜地作了一個可悲的錯誤判斷，他認定，想要走出困境，必須學習拉丁文和希臘文。事實是，拉丁文和希臘文與他窮困的原因毫無關系。到12歲時，布爾已經掌握了足夠的拉丁文，能夠把一首賀拉斯的詩翻譯成英文詩了并在地方報紙上發表了它。這引起了一場文化上的争吵，部分是對布爾的贊揚，部分是對他的羞辱。
- 14歲時，布爾翻譯了當地出版的希臘詩歌《春之頌》
- 布爾開的一所私人學校
- 1831年，布爾開始了一項雄心勃勃的數學自學計劃。他用法語閱讀拉格朗日和拉普拉斯的高等數學著作。他研究并精通艾薩克·牛頓爵士的偉大著作《數學原理》。
這本小冊子受到德·摩的強烈贊揚。這本小冊子隻是對在6年以後出現的更偉大的東西的預告。與此同時，布爾拒絕了去劍橋接受正統數學訓練的建議。他繼續在小學教書，因為他的父母完全靠他供養。
1849年，最後他被任命為新近成立的女王學院的數學教授。他做了各種各樣值得注意的數學工作，但他主要努力的是繼續使他的傑作（符号邏輯）趨于完善。1854年，39歲的布爾發表了這一傑作——《對于奠定邏輯和概率的數學理論基礎的思維規律的研究》。
下面摘錄的幾段将使我們對布爾的風格及其工作領域有所了解，
這篇論文的目的，是研究那些據以進行推理的心算的基本規律；用微積分學語言來表達它們，并在這個基礎上建立邏輯科學，構造它的方法；使這個方法本身成為應用于概率的數學原理之一般方法的基礎；最後，從在這些探索過程中發現的各種真理的成分中，收集一些可能與自然和人類思維的構成有關的提示……
确實存在某些建立在語言本身特點上的一般原則，據以決定作為科學語言要素的符号的用途。在一定程度上，這些要素是任意的。它們的解釋純粹是常規的∶我們可以在我們願意的任何意義上應用它們。但是這個許可受到兩個必不可少的條件的限制——第一，一旦這個意義常規地建立起來了，我們在推理的同一過程中，決不能背離它；第二，指導過程的法則應該完全建立在所用符号的上述固定意義上。與這些原則一緻，在邏輯的符号法則和代數的符号法則之間建立起來的任何一緻，都隻能得出過程一緻的結果。解釋的這兩個領域仍然是分開的和獨立的，每一個領域都服從于它自己的法則和條件。
下面幾頁的實際研究，在它的實用方面，把邏輯展示為借助于有确定解釋的符号的幫助而實施的過程體系，并且隻服從于建立在該解釋基礎上的法則。但是同時，它們表現出那些在形式上與代數的一般符号相同，隻添加了一點，即邏輯符号還得服從于一項特别的法則，就此而論，量的符号無須遵守這條規律。
布爾把邏輯簡化成極為容易的一類代數。在這種代數中，适當的推理，成了對公式的初等運算。于是，邏輯本身就受數學的支配了。
自從布爾的開創性工作以來，他的偉大發現已經在許多方面被改進和推廣了。今天，在理解數學的本質中，符号或數學的邏輯都是不可缺少的。如果我們隻能利用布爾之前的邏輯方法，那麼人類的理智無法對付符号推理所深入到的那些錯綜複雜的困難。布爾的大膽創見是一個裡程碑。
自從1899年希爾伯特發表他關于幾何基礎的傑作以來，人們就已經開始關注幾個數學分支的公設的系統闡述。由于希爾伯特的工作，公設法才得到承認。這個抽象的趨勢曾風行一時，在這一趨勢中，某一特定主題中的運算的符号和規則完全失去了意義，而是從純形式觀點予以讨論，從而忽略了應用，而應用正是人類對于任何科學活動的最終追求。然而，抽象的方法确實提供了無可替代的洞察力，特别是由此非常容易看出布爾的邏輯代數的簡便性。
因此，我們将叙述布爾代數（邏輯代數）的公設。下面一組公設是從亨丁頓發表在《美國數學學會報》（1933年）上的一篇文章中摘錄的。
這一組公設用K，+，x表示，其中K是一類不确定的（完全任意的，沒有任何預先指定的意義或超出公設所給出的性質）元素a，b，c，…，而a＋b和a×b是兩個不确定的二元運算+，×的結果。一共有10個公設，
- Ⅰa：如果a和b在類K中，那麼a+b在類K中。
- Ⅰb：如果a和b在類K中，那麼ab在類K中。
- Ⅱa：有一個元素Z，使得對于每一個元素a有a+Z=a。
- Ⅱb：有一個元素U，使得對于每一個元素a有aU=a。
- Ⅲa：a+b=b+a。
- Ⅲb：ab=ba。
- IVa：a+bc=(a+b)(a+c)。
- Ⅳb：a(b+c)=ab+ac。
- V：對于每一個元素a，有一個元素a'，使得a+a'=U，aa'=Z。
- Ⅵ：在類K中至少有兩個不同的元素。
- a
- 如果a
- 如果a
- Z
- a
- a
- ab
- 如果x
- 如果a
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