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李代數——物理學中最重要工具之一,一個最簡單的解釋

李代數是物理學中最重要的工具之一。它們在經典力學、量子力學、甚至廣義相對論中都很有用。它們是數學的一個子集,稱為表示論,該理論使用稱為群的工具來提供一種形式來描述物質和能量。關于李代數,普通大衆對它知之甚少。所以今天,我将揭開這個重要概念的神秘面紗,講述一些關于李代數的真相。
什麼是李代數? 李代數定義為一組矩陣,當對這組矩陣取幂時得到一個李群( Lie Group)。大家可能不太了解“李群”,所以我首先要解釋這個詞。李群出現在涵蓋連續變換的 李 理論主題中。連續變換是一種“平滑”的變換,即由無數個“小”變換組成。而離散(非連續)變換是由“有限”的步驟組成的,就像一個粒子消失,然後在某個地方又出現。可以變換的對象有很多,如形狀,矢量等等。但我們對變換“群”特别感興趣。 什麼是群? 當數學家說“群”的時候,它們并不是一般人所理解的那樣,如一群羊、一群人、一群螞蟻等中的“群”。數學中的 群 是滿足一些約束條件的集合(對象的集合)。這裡我不會列出所有的 約數 條件。簡單說,群是一個帶有二元運算的集合。
  • 加法下的整數集将是一群,因為我們可以将整數相加。
  • 除法下的整數集不是一個群,因為我們不能用每個整數除以其他整數(如1/0)。
隻要為群中的所有元素定義了良好的運算,就可以将任何東西創建為群。我們要研究的一個特殊群是對稱群。 作為李群的對稱群 拿一個正方形,并将它向右(左)旋轉一個較小的角度,比如23度。很容易判斷出,它的位置發生了 變換 。現在假設把它旋轉90度。這個正方形看起來 沒有 跟之前沒有什麼不同。這就是所謂的對稱性,即某些對象經過變換後看起來是一樣的。如果把正方形旋轉180度,就會得到另一種對稱。360度的旋轉也是一種對稱(一種著名的對稱)。重點是這個正方形證明了旋轉的離散對稱。具體來說,它隻對n × 90度旋轉對稱,其中n是一個整數。我們可以說: 正方形=原來的正方形+ n(90)旋轉 這意味着當正方形旋轉90度n次時,看起來就像初始時的正方形。一個連續對稱的例子是圓。不管我們把圓旋轉到什麼角度,它看起來都是一樣的。我們可以說: 圓=原來的圓+ d旋轉 其中d是任意角度。讓我們把G(d)表示為某個特定的圓構型。我們可以寫出任意圓的構型:

其中I是原始位置,d是某個角度。例如,旋轉90度的圓是G(90) = I + 90。但是如果用90除以3會得到怎樣的旋轉? “30度的旋轉”,你可能會回答。

為了實現90度的旋轉,要做3次30度 旋轉 :

但是假設從旋轉9度開始。要旋轉多少次才能旋轉90度?你可能會說,10次,因為G(90) = (I + 90/10)(I + 90/10)… 但是假設從101/1000度旋轉開始,要旋轉多少次才能得到90度的旋轉?要點是,G(90) = (I + 90/n)乘以自身n次,因為(90/n) x n = 90。但沒有什麼能阻止n越來越大。當n→∞時會怎樣?90/n變得無限小,所以我們需要把它乘以同樣的東西無限次!也就是:

你們可能覺得這個公式很眼熟。它是:

其中e是歐拉數。我們可以說,起始點I圍繞角d旋轉的任意度數都是G(d) = e^d。我們找到了一種解釋e^d的新方法。如果我們想隻允許有“特定的”旋轉(離散對稱),那麼就需要将其調整為G(d)=e^dX,其中X是一組特定的數字。我們說X是G(d)的生成函數。旋轉下的圓的集合實際上形成了一個群,稱為對稱群,G(d)隻是這個群中的一個元素。一個元素可以寫成e^dX的群叫作李群。李代數就是X的集合生成G群。

還有很多東西要講。我們甚至還沒有讨論物理上的應用。不過不要擔心,我将為這篇文章寫一篇後續文章,讨論這個看似抽象的數學在更具體的事情上的應用。

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