李代數——物理學中最重要工具之一，一個最簡單的解釋
李代數是物理學中最重要的工具之一。它們在經典力學、量子力學、甚至廣義相對論中都很有用。它們是數學的一個子集，稱為表示論，該理論使用稱為群的工具來提供一種形式來描述物質和能量。關于李代數，普通大衆對它知之甚少。所以今天，我将揭開這個重要概念的神秘面紗，講述一些關于李代數的真相。什麼是李代數？ 李代數定義為一組矩陣，當對這組矩陣取幂時得到一個李群（ Lie Group）。大家可能不太了解“李群”，所以我首先要解釋這個詞。李群出現在涵蓋連續變換的 李 理論主題中。連續變換是一種“平滑”的變換，即由無數個“小”變換組成。而離散（非連續）變換是由“有限”的步驟組成的，就像一個粒子消失，然後在某個地方又出現。可以變換的對象有很多，如形狀，矢量等等。但我們對變換“群”特别感興趣。 什麼是群？ 當數學家說“群”的時候，它們并不是一般人所理解的那樣，如一群羊、一群人、一群螞蟻等中的“群”。數學中的 群 是滿足一些約束條件的集合（對象的集合）。這裡我不會列出所有的 約數 條件。簡單說，群是一個帶有二元運算的集合。
- 加法下的整數集将是一群，因為我們可以将整數相加。
- 除法下的整數集不是一個群，因為我們不能用每個整數除以其他整數（如1/0）。
其中I是原始位置，d是某個角度。例如，旋轉90度的圓是G(90) = I + 90。但是如果用90除以3會得到怎樣的旋轉？
“30度的旋轉”，你可能會回答。
為了實現90度的旋轉，要做3次30度
旋轉
：
但是假設從旋轉9度開始。要旋轉多少次才能旋轉90度？你可能會說，10次，因為G(90) = (I + 90/10)(I + 90/10)…
但是假設從101/1000度旋轉開始，要旋轉多少次才能得到90度的旋轉？要點是，G(90) = (I + 90/n)乘以自身n次，因為(90/n) x n = 90。但沒有什麼能阻止n越來越大。當n→∞時會怎樣？90/n變得無限小，所以我們需要把它乘以同樣的東西無限次！也就是：
你們可能覺得這個公式很眼熟。它是：
其中e是歐拉數。我們可以說，起始點I圍繞角d旋轉的任意度數都是G(d) = e^d。我們找到了一種解釋e^d的新方法。如果我們想隻允許有“特定的”旋轉（離散對稱），那麼就需要将其調整為G(d)=e^dX，其中X是一組特定的數字。我們說X是G(d)的生成函數。旋轉下的圓的集合實際上形成了一個群，稱為對稱群，G(d)隻是這個群中的一個元素。一個元素可以寫成e^dX的群叫作李群。李代數就是X的集合生成G群。
還有很多東西要講。我們甚至還沒有讨論物理上的應用。不過不要擔心，我将為這篇文章寫一篇後續文章，讨論這個看似抽象的數學在更具體的事情上的應用。
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