法國最偉大的數學家之一——柯西，以無與倫比的創造力，拯救了現代數學

奧古斯坦-路易·柯西（Augustin-Louis Cauchy）是現代的第一個偉大的法國數學家，他于1789年8月21日出生在巴黎。現代數學中兩個很令人感興趣的問題應歸功于柯西。第一個是把嚴格性引進了數學分析。在引進嚴格性之前，數學分析就是整整一座謬誤之神的萬神殿。在這方面，柯西與高斯、阿貝爾一起，是偉大的先驅者。正是柯西，使人們接受了數學分析中的嚴格性。

柯西給數學增添的第二個具有根本重要性的東西，是組合方面。柯西抓住了拉格朗日在方程理論上的方法的核心，把它抽象化，開始了群論的系統創建。

在柯西以前，很少有人在純粹代數運算方面找到有價值的發現。柯西看得更深一些，他在代數公式的對稱性方面，看出了運算和它們的組合規律，把它們獨立出來，由此導緻了群論。今天，群論在純數學和應用數學的許多領域，從代數方程到幾何和原子結構的理論，具有根本的重要性。隻須提到它的一項應用就足以說明，它是晶體幾何學的起因。晶體幾何學後來的發展遠遠地深入到高等力學和微分方程的現代理論之中。

拉普拉斯第一次見到年輕的柯西，很快就發現這孩子有着非凡的數學才能。不出幾年，拉普拉斯就要憂心忡忡地聽柯西關于無窮級數的演講，擔心這個年輕人在收斂方面的發現會摧毀他自己的天體力學這整座大廈。

1800年1月1日，老柯西被選為上院秘書，他的辦公室在盧森堡宮。年輕的柯西也同他合用這間辦公室。這樣一來，他就常常會看到拉格朗日，當時拉格朗日在綜合工科學校任教授。不久，拉格朗日就對這孩子産生了興趣，像拉普拉斯一樣，被他的數學才能深深打動了。一次，當拉普拉斯和其他幾個知名人士在場時，拉格朗日指着在角落裡的年輕的柯西說，"你們看見那個瘦小的年輕人嗎？他将取代我們大家。”

柯西在大約13歲時進了龐特昂的中心學校，拿破侖在這所學校設立了幾個獎學金，還有一種全法國所有學校同一年級的大獎賽。柯西從一開始就是學校裡的明星，獲得希臘文、拉丁文作文和拉丁詩的頭獎。他在1804年離校時，赢得全國大獎賽和一項古典文學特别獎。

随後的10個月，他在一位很好的導師指導下對數學作深入細緻的研究。1805年，他16歲時以第二名的成績考入了綜合工科學校。1807年柯西從綜合工科學校轉到土木工程學校。雖然他隻有18歲，但很快就超過了已經入學兩年的20歲的年輕人，而且很早就被校方注明是要擔任特殊職務的。1810年3月柯西完成了學業，立即被委派了一項重要的職務。

柯西離開巴黎，前往瑟堡第一次赴任。這時距離滑鐵盧之戰還有5年的時間，拿破侖仍然信心十足地期待着從海上占領英國。年輕的柯西被派往瑟堡，去成為一名偉大的軍事工程師。在柯西不多的行李中，隻帶了4本書，拉普拉斯的《天體力學》、拉格朗日的《解析函數理論》、坎普滕的托馬斯的《效法基督》，和一冊維吉爾的作品，這對一個雄心勃勃的青年軍事工程師真是一種不尋常的搭配。

柯西在瑟堡逗留了大約3年。在他繁重的本職工作以外， 柯西把數學的各個分支從頭到尾再溫習一遍，從算術開始，到天文學為止，把模糊的地方弄清楚，應用自己的方法去簡化證明和發現新的定理。

1812年在莫斯科的慘敗，對普魯士和奧地利的戰争，以及1813年10 月萊比錫戰役的徹底失敗，這一切都分散了拿破侖的注意力，使他不能專心于侵略英國的夢想，在瑟堡的工作也就進行不下去了。1813年柯西回到巴黎，因為工作過度而精疲力竭。他當時隻有24歲，但是已經以他光輝的研究工作，特别是關于多面體的論文和關于對稱函數的論文，吸引了法國主要數學家們的注意。由于多面體和對稱函數的性質都很容易理解，而且各自都對今天的數學提供了極為重要的啟示，我們将簡單地叙述它們。

1811年2月，柯西提交了他的第一篇關于多面體的論文。這篇論文對普安索提出的問題“除了那些有4、6、8、12、20面的正多面體，還有可能存在其他正多面體嗎？"作了否定的回答。在這篇論文的第二部分，柯西擴展了歐拉的公式，把多面體的邊數（E）、面數（F）和頂點（V）聯系在一起，E＋2=F＋V，這個公式可以在中學立體幾何教科書中找到。

這篇論文印出來了。勒讓德對它評價很高，鼓勵柯西繼續做下去，柯西又寫了第二篇論文（1812年1月）。勒讓德和馬呂是評閱人。勒讓德很熱心，預言這位年輕作者将做出偉大的工作。

柯西在證明他的一些最重要的定理時，用了"間接法"。而馬呂反對的正是這種證明方法。在用間接法證明一個命題時，是從假定命題不成立推出一個矛盾；因此根據亞裡士多德的邏輯，就得知命題成立。柯西無法用直接方法達到目的。馬呂讓步了，但仍然不能信服柯西證明了什麼。如果說馬呂沒有能在1812年使柯西了解這個要點，布勞威爾在1912年及那以後為馬呂做到了，布勞威爾成功地使柯西在數學分析方面的一些後繼者們，至少看出了确實有一個需要明了的要點。正如馬呂試圖告訴柯西的，亞裡士多德的邏輯在數學推理中并不總是一個可靠的方法。

我們順便提一下置換理論。這是由柯西系統地開始，又由他于19世紀40年代在一系列文章中詳盡闡述的理論，後來發展成有限群論。下面我們就用一個簡單的例子來說明它的基本概念。不過先要非正式地說說運算群的主要性質。

• 運算用大寫字母A，B，C，D，…表示，兩個運算連續進行，比如說A先B 後，就用并列表示，即AB。注意，BA意味着先完成B，後完成A；所以AB和BA并不一定是同樣的運算。如果兩個運算X和Y的效果是一樣的，就說X和Y相等，用X=Y表示。

• 下一個基本概念是結合性。如果對一個集合中的每三個運算，比如說U，V，W，是任意三個運算，（UV）W=U（VW），就說這個集合滿足結合律。

• 最後一個基本概念是恒等運算，或者恒等式：不管實施到什麼上都不産生改變的運算I，稱為恒等式。

有了這些概念，我們就能說明定義一個運算群的簡單公設。如果一個運算的集合I，A，B，C，…，X，Y…滿足公設（1）—（4），就說它形成一個群。

1. 存在一個組合規則，可應用到集合中的任何一對運算*X，Y，使得按該組合規則結合X，Y的結果（按此次序記為XY），是該集合中一個唯一确定的運算。

2. 對于集合中的任意三個運算X，Y，Z，（1）中的規則是可結合的，即(XY)Z=X(YZ)。

3. 集合中有一個唯一的恒等式I，使得對集合中的每一個運算X，IX=XI=X。

4. 如果X是集合中的任一運算，集合中有唯一的一個運算，比如說X'，使得XX'=I。

為了說明一個群，我們采用一個與字母排列有關的非常簡單的例子。這個例子看上去可能沒有什麼意思，但是人們發現這樣的排列或置換群，是長期尋找的方程的代數可解性的線索。

a，b，c三個字母可以準确地用6種次序寫出來。取其中的任何一個，比如說第一個abc，作為初始次序。通過什麼樣的字母置換，我們能從這個次序過渡到其餘5種排列呢？從abc到acb，隻要置換b和c就夠了。表明交換b和c的運算，我們寫為（bc），讀作“b到c，c到b”。我們通過a到b，b到c，以及c到b，從abc過渡到bca，這記為（abc）。abc本身的次序是從abc不經過任何改變得到的，即a到a，b到b，c到c，它是恒等置換，記為l。對6個次序

同樣地繼續進行下去，我們得到了相應的置換，

在這裡，公設中的"組合規則"如下。任取兩個置換，比如說（bc）和（acb），考慮這些按所說的順序依次應用的結果，即先（bc）後（acb）：（bc）把b變到c，然後（acb）把c變到b。這樣b仍在原來的位置。取（bc）中的第二個字母c：由（bc），c被變到b，由（acb），b被變到a；這樣c被變到a。繼續下去，我們看到a現在變成：（bc）使a仍在原處，但是（acb）把a變成c。那麼最後（bc）跟着是（acb）的結果，就是（ca），我們用

表示。用同樣的方法很容易證明

等等，直到所有可能的每一對為止。這樣，公設（1）對所有這6個置換是滿足的，可以驗證（2）、（3）、（4）也滿足。

所有這些都彙總在群的"乘法表"中，我們用下面一行字母表示置換，來寫出這個表，

在讀這張表時，從左邊的列任取一個字母，比如說C，從頂上面的行任取一個字母，比如說D，那麼對應的行和列的交點處的表值就是CD的結果，這裡是A。這樣，CD=A，DC=E，EA=B，等等。

舉一個例子，我們可以就（AB）C和A（BC）證明結合律，它們應當相等。首先，AB=C，因此（AB）C=C=I。再有BC=A；因此A（BC）=AA=I。同樣的方法可以證明A（DB）=AI=A；（AD）B=EB=A；這樣（AD）B=A（DB）。

一個群中互異運算的總數叫做它的階。這裡群的階是6。通過檢查這張表，我們可以挑出幾個子群，例如，它們各自的階是1，2，3。這解釋了柯西證明的一個基本定理：任何子群的階都是該群的階的因子。

讀者會發現，試着構造階不是6的群是很有趣的。對于任意給定的階，互不相同的群（有不同的乘法表）的數目是有限的，對于任意給定的階（一般的階n），這個數可能是什麼還不知道——在我們的一生中也不大可能知道。所以在一個表面上像多米諾理論那麼簡單的理論的一開始，我們就碰上了未解決的問題。

我們已經構造了群的“乘法表”，現在忘掉它是從置換中導出的，而把這個表看作定義了一個抽象群。那就是說，不給I，A，B，…除在CD=A，DC=E等組合規則中所隐含的意義以外的解釋。這種抽象的觀點是現在流行的觀點。它不是柯西的，但是由柯西在1854年采用的。直到20世紀的最初10年為止，也沒有提出一組完全令人滿意的群的公設。

當一個群中的運算被解釋為置換，或剛體的旋轉，或在群可以應用的任何其他數學領域中時，這種解釋就被稱作由乘法表定義的抽象群的一個實現。一個給定的抽象群可以有很多種不同的實現。這是群在現代數學中具有根本重要性的原因之一：同一個群的一個抽象的、基本的結構（概括在乘法表中），是幾個表面上無關的理論的本質，由于對抽象群性質的深入研究，對這些理論和它們的相互關系的認識，就由一次研究而不是幾次研究得到了。

我們隻舉一個例子，也就是一個正二十面體繞其對稱軸自轉，使得任意一次旋轉後，該立體的體積與以前占有同樣的空間，這樣的全體旋轉的集合形成一個群，當抽象地表示這樣一個旋轉群時，與我們試圖解一般的五次方程時在根的置換下出現的群是同樣的。

而且同一個群也在橢圓函數（非常重要的一類函數）的理論中出現。這暗示着雖然不可能從代數上解一般五次方程，但是按照所提到的函數，方程可能實際上是解的。最後，所有這些都能通過描述二十面體，在幾何上畫出來。這個美妙的統一是費利克斯·克萊因的貢獻，出現在他關于二十面體的書中。

柯西是置換群理論的一位偉大的先驅者。自從他那時以來，在這個課題上已經做出了大量的工作，這個理論本身已經大大發展了，其後是無限群———能用1，2，3，…來數的無窮多個運算的群，再進一步發展到連續群。在連續群中，運算通過無窮小位移把一個物體移到另一個位置（與上面描述過的二十面體群不同，那時自轉把整個物體轉動一個有限量）。這隻是無限群中的一類（這裡的術語是不确切的，但足以說明重要的一點——離散群和連續群之間的區别）。正如有限離散群理論是代數方程理論的基本結構一樣，無限連續群在微分方程理論中也有很大作用。所以柯西在擺弄群時，并不是在虛度時光。

為了結束對群的這段描述，我們可以指出柯西讨論的置換群是怎樣進入原子結構的現代理論的。一個在其符号中恰好包含兩個字母的置換，比如說（xy），稱為一個對換。任何置換都是對換的組合，這是容易證明的。例如：

由這個例子，以對換的形式寫出任何置換的規則就很顯然了。

現在，假定一個原子中的電子都是相同的。因此，如果交換一個原子中的兩個電子，原子保持不變。為簡單起見，設原子恰好包含三個電子，比如說a，b，c，使原子保持不變的電子的所有交換，對應于在a，b，c上的置換群（我們給了乘法表的那一個群）。從這裡到由原子構成的受激氣體發出的光譜線，似乎還有很大一步距離，但是這一步已經邁出了。一些量子力學專家在置換群理論中給光譜（以及與原子結構有關的其他現象）的闡明找到了令人滿意的基礎。柯西當然沒有預見到他發展起來的理論會有這樣的應用，他也沒有預見到它會應用到代數方程的未解之謎上（一般5次方程）。那個功績得留待一個十幾歲的孩子（阿貝爾）去完成。

柯西到27歲時已經上升到當時的數學家的最前列。他唯一的重要競争對手是高斯，比他年長12歲。柯西1814年的關于複數極限的定積分的論文，開始了他作為單複變量函數理論的偉大事業。關于專業術語，高斯在1811年已經得出了基本定理，比柯西早3年。柯西關于這個題目的極為詳盡的論文直到1827年才發表。推遲的原因可能是由于文章太長——大約180頁。

1815年，柯西由于證明了費馬留給困惑的後代的一個偉大定理而引起了轟動，這個定理是：每一個正整數都是3個"三角形數"、4個“四邊形數”、5個“五邊形數”、6個“六邊形數”等等的和。在每一種情形，零都算在所說的那一類數中。一個“三角形數”是數字0，1，3，6，10，15，21，…中的一個，這些數是由用點建立的正三角形組成的：

“正方形數”也有類似的構成：

其中，借以從前一個正方形得到的正方形的"邊界"是明顯的。同樣，"五邊形數"是由點建立的正五邊形；"六邊形數"及其他的數亦與此類似。這是不容易證明的。事實上，歐拉、拉格朗日和勒讓德都沒有證明它。高斯早先證明了“三角形數”。

柯西沒有局限于純數學的第一流工作，他接着赢得了科學院的大獎（1816年），題目是“不定深度的重流體表面的波的傳播理論"。就數學處理而言，海浪與這種類型很相近。這篇論文最後長達300多頁。柯西27歲被推向科學院院士的席位（但沒有空缺位置，被蒙日占着），這是柯西一生的頂點。

自從26歲起，柯西一直在巴黎綜合工科學校講授分析學。現在他成了教授，不久又被法蘭西學院和索邦大學任命為教授。他的數學活動是令人難以置信的；有時候在一周内，科學院會收到他兩篇很長的文章。除了他自己的研究工作以外，他還起草了難以數計的關于其他人投給科學院的論文的報告，并擠出時間來寫了關于數學（純數學和應用數學的）所有分支的幾乎是源源不斷的短文。對于歐洲數學家，他變得比高斯還要著名。學者們和學生們都來聽他對他正在發展的新理論，特别是分析學和數理物理學中的新理論的美妙清晰的講解。他的聽衆中有來自柏林、馬德裡和聖彼得堡的著名數學家。

柯西在1818年同阿洛伊斯·德比雷結婚，共同生活了将近40年。這個時期有一項偉大的工作值得注意。在拉格朗日和其他一些人的鼓勵下，柯西在1821年詳細寫出了他在綜合工科學校講過的分析學教程以供出版。這部著作提出了長期的嚴格性的标準，甚至在今天，柯西這本教程中給極限和連續下的定義，以及他寫的關于無窮級數收斂性的許多内容，仍然可以在任何一本微積分學書中找到。從前言中摘出的一段，可以說明他所想到的和他所完成的：

我竭力賦予這些（分析的）方法以幾何中所要求的全部嚴格性，做到決不涉及從代數的一般原則中抽出的推理。（就像今天所說的，代數的形式主義）這一類推理，雖然廣為承認，但主要是在從收斂級數到發散級數，從實量到虛量的過程中得來；在我看來，不能認為它是什麼超出歸納法的東西，它有時暗示着真理，但是它與數學引以為豪的嚴格性沒有什麼一緻的地方。我們也必須注意到，它們傾向于造成一種據認為是代數公式所有的、模糊的有效性。而實際上，這些公式大多數隻在某些條件下對它們包含的量的某些值有效。通過決定這些條件和值，通過精确确定我所用的記号的意義，我将消除一切不确定性。

柯西的創作能力是如此之大，以至于他不得不創辦一個他自己的雜志《數學練習》（1826—1830），第二輯以《分析數學與物理練習》為名，發表他在純數學和應用數學方面的評論性和獨創性的著作。這些著作對1800年以前的數學風格作了很大的改革。有一個例子說明柯西的驚人的活動力。1835年科學院開始出版它的周刊。這對柯西來說是一個未開墾的傾銷園地，他開始以短論和長篇專題報告塞滿這個新的出版物——有時候一周不止一篇。科學院對迅速堆積的付印單感到震驚，于是通過一項規定，禁止刊登超過10頁的長文章。這束縛了柯西，他那些較長的論文，包括一篇長達300頁的關于數論的偉大論文，是在其他地方發表的。

1830年的革命把查理趕下了台。他曾經莊嚴宣誓效忠查理，而對于柯西，發了誓就得遵守。柯西在40歲的時候，放棄了他的所有職務，自願去流放。柯西把家人留在巴黎，但并未辭去在科學院的職位，他先去瑞士，在那裡，從科學會議和研究工作中尋求慰藉。不久，比較開明撒丁國王查理·阿爾貝特，聽說了有名的柯西沒有工作，就為他安排了一個工作，在都靈任數理物理學教授。柯西非常高興。他很快學會了意大利語，并且用這種語言講課。

1833年，柯西受托負責查理的繼承人、13歲的波爾多公爵的教育。盡管幾乎不斷地照料着他的學生，柯西還是設法進行他的數學研究，不時地沖進他的私人住處，匆匆忙忙地寫下一個公式，或者很潦草地胡亂塗上一段。這個時期給人印象最深刻的工作，是關于光的色散的長篇論文。柯西試圖在這篇論文中，根據光由一個彈性固體顫動而産生的這一假設，闡明色散現象。

1838年柯西（将近50歲）擺脫了他的學生，回到了巴黎并恢複了他的在巴黎的職位。現在他的數學活動比以往更加廣泛。在他一生中的最後十幾年間，他對數學的所有分支，包括機械、物理和天文，寫出了500多篇論文。這些著作中許多是長篇專著。

大數學家的聲譽和其他大人物一樣，受到同樣的盛衰榮辱的支配。因為柯西在他去世很久以後——甚至今天——都由于生産過多和寫作過快而受到嚴厲的批評。他的全部作品是789篇論文。如果一個人除了一些質量不高的作品以外，寫出了大量第一流的著作，這類批評看來當然是不恰當的，而且這類批評通常是那些自己寫得比較少，而這少量作品也沒有什麼創新的人提出的。自從他去世以來，特别是近幾十年來，柯西作為一個數學家的聲譽已經穩定地上升。他所引進的方法，他的開創現代嚴格性第一時期的整個計劃，還有他那幾乎無與倫比的創造力，都在數學上留下了印記。而這種印記，就我們現在所能明白的，是在今後許多年注定都會看得見的。

在柯西作出的大量新東西中，可以提出一個顯然并不重要的細節，以說明他的遠見卓識。柯西不用“想象的”i，而提出用模i^2＋1的同餘，來完成數學中的所有複數的運算。這是在1847年作出的。這篇論文沒有引起什麼注意。然而它卻是行将變革某些數學基本概念的某種東西（克羅内克計劃）的萌芽。

1857年5月23日，柯西68歲時出乎意料地去世了。他去世前幾小時，還在熱心地和巴黎大主教就他考慮到的慈善工作進行熱烈的談話——慈善事業是柯西畢生關心的事業之一。他最後的話是對大主教說的：“人們走了，但他們的功績留下了。”