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圖形旋轉變式彙總


部分選題來自上海市嘉定區南翔中學 王晟喆《從同題異構角度看教與學》

如何研究圖形的旋轉問題?

對于圖形的旋轉問題,首先 需要根據題意作出滿足題意的圖形 ,即根據圖形旋轉的定義和性質作圖 (旋轉三要素) ,靈活借助圓規、量角器和直尺這類作圖工具能提升作圖的效率;其次 通過提取題幹中的條件信息标在圖中,同時将旋轉後的對應線段、對應角等也根據結論需要标在圖中 需要注意的是旋轉角相等,這個重要信息不可忽略;最後 結合圖形,結合常見的基本圖形和基本方法化為可解決的問題 問題背景

背景分析: 本題的背景是一個"345"的基本直角三角形,其中AB=15,AC=9,BC=12,旋轉中心是點C,旋轉方向是順時針旋轉,旋轉角的大小不确定。因此是無法準确畫出精準圖形的。通過以下的變式達成對圖形旋轉問題解決策略的探索所。
變式1: 使旋轉角的大小分别為α=45°,α=∠B,α=∠A; 變式2: 旋轉至特殊位置;
變式3: 改變旋轉中心,使旋轉後三角形的邊與原三角形的某條邊呈現特殊位置關系。

01

改變旋轉角的大小

1 當旋轉角的度數為45°時

解法分析:當旋轉角α=45°(或其他确定的特殊值),發現關鍵三角形——▲CDB',它是一個已知兩角及大小及一邊長度的一般三角形,聯想解斜三角形有關知識,能夠聯想到可以過點D作CB'邊上的高,繼而求得DB'、CD的長,再求A'D的長,進而求得CD:A'D的值

2 當旋轉角的度數為∠B時

解法分析:當旋轉角α=∠B時,還是可以按照上題的方式進行如法炮制,通過解三角形的方式求得相應線段的比值。

方法點睛:當旋轉角α=∠B時,可以得到▲CDB'為等腰三角形,此時可以得到D為斜邊A'B'中點,因此可得A'D=CD,因此得到比值為1,通過圖形的特殊性可以簡化運算的過程

3 當旋轉角的度數為∠B時

解法分析:當旋轉角α=∠A時,畫出圖形後可得A'B'⊥CB,此時▲CDB'為直角三角形,不用作垂線即可通過解三角形的方式求得相應線段的長度,繼而求出比值。


02

旋轉至特殊位置

4 當點A'恰好落在邊AB上時

解法分析:當點A'恰好落在邊AB上時,此時旋轉角的大小還是可求的。通過作圖,得到▲ACA'為等腰三角形,借助等積法可以求得旋轉角(∠ACA'的三角比),從而繼續解▲CDB'即可。

方法點睛: 上述的方法固然可以求得線段的比值,但是計算的過程太過繁瑣,觀察到CD:A'D恰好是兩相似三角形CDB'和▲A'DB的對應邊,因此隻要求出AA'本題就迎刃而解了。由于AA'C是等腰三角形,利用“三線合一”定理通過作底邊上的高可以求出AA'的長度,繼而求出A'B的長度。

變式: 同時聯結BB'後得到了兩個共頂點旋轉的相似三角形,借助三角形的相似(▲ACA'和▲BCB'),同樣可以求出BB'的長度

5 當點B、A'、B'三點共線時

解法分析:當點B、A'、B'三點共線時,根據題意可得▲BCB'為等腰三角形,因此通過過點C作BB'的垂線,即可求出BB'長度,繼而求出A'B的長度。

在▲BCA'中,由于已知兩邊及一角,也可以通過作垂線的方式求出∠A'CB的正切值。


03

改變旋轉中心

6 當繞點A逆時針旋轉時

解法分析: 根據題意畫出圖形進行分析:

本題和變式6有些類似,畫出圖形後,得到 兩個共頂點旋轉的相似三角形,即▲ACA'和▲BB'A', 要求∠BB'M的正切值,實際上需要解斜▲BB'M,這個三角形已知了BM,∠ABB'的三角比,因此隻要求出BB'的長度即可。除了兩個共頂點旋轉的相似三角形外,由于斜邊中點的特殊性,可得▲ACA'和▲ACM相似,即▲ACM和▲BB'A'是相似的,即可求出BB',進而求解。

方法點睛: 上述的方法固然可以求得線段的比值,但是計算的過程太過繁瑣,觀察到CD:A'D恰好是兩相似三角形▲CDB'和▲A'DB的對應邊,因此隻要求出AA'本題就迎刃而解了。由于▲AA'C是等腰三角形,利用“三線合一”定理通過作底邊上的高可以求出AA'的長度,繼而求出A'B的長度。

變式: 同時聯結BB'後得到了兩個共頂點旋轉的相似三角形,借助三角形的相似(▲ACA'和▲BCB'),同樣可以求出BB'的長度

7 當繞BC邊上的定點旋轉時

解法分析:先根據題意确定點P的位置,再根據B'C'//AB,畫出旋轉後的圖形,要求A'G的長度,實際上需要求CG的長度,通過過點P作BA垂線即可構造直角三角形,從而求得PE的長度。

8 當繞斜邊中點旋轉時

解法分析: 由于 未指明旋轉的方向,因此本題需要分類讨論 ,即順時針或逆時針旋轉,由BC⊥B'C'可以确定旋轉後的圖形:

通過旋轉後的圖形,由A'B'⊥AB,解▲BDM即可得到BD和DM的長度,繼而求出CD和A’D的長度。本題的難點在于畫圖及分類讨論。


04

方法小結

旋轉後的幾種圖形:

旋轉問題解決的一般思路:

END


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