概率統計的起源與發展

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概率論的起源與發展

三四百年前在歐洲許多國家，貴族之間盛行賭博之風。擲骰子是他們常用的一種賭博方式。
因骰子的形狀為小正方體，當它被擲到桌面上時，每個面向上的可能性是相等的，即出現1點至6點中任何一個點數的可能性是相等的。有的參賭者就想：如果同時擲兩顆骰子，則點數之和為9與點數之和為10，哪種情況出現的可能性較大？
17世紀中葉，法國有一位熱衷于擲骰子遊戲的貴族德·梅耳，發現了這樣的事實：将一枚骰子連擲四次至少出現一個六點的機會比較多，而同時将兩枚骰子擲24次，至少出現一次雙六的機會卻很少。
這是什麼原因呢？後人稱此為著名的德·梅耳問題。又有人提出了“分賭注問題”：
兩個人決定賭若幹局，事先約定誰先赢得6局便算赢家。如果在一個人赢3局，另一人赢4局時因故終止賭博，應如何分賭本？
諸如此類的需要計算可能性大小的賭博問題提出了不少，但他們自己無法給出答案。
數學家們“參與”賭博
參賭者将他們遇到的上述問題請教當時法國數學家帕斯卡，帕斯卡接受了這些問題，他沒有立即回答，而把它交給另一位法國數學家費爾馬。他們頻
頻通信，互相交流，圍繞着賭博中的數學問題開始了深入細緻的研究。這些問題後來被來到巴黎的荷蘭科學家惠更斯獲悉，回荷蘭後，他獨立地進行研究。
帕斯卡和費爾馬一邊親自做賭博實驗，一邊仔細分析計算賭博中出現的各種問題，終于完整地解決了“分賭注問題”，并将此題的解法向更一般的情況推廣，從而建立了概率論的一個基本概念——數學期望，這是描述随機變量取值的平均水平的一個量。而惠更斯經過多年的潛心研究，解決了擲骰子中的一些數學問題。1657年，他将自己的研究成果寫成了專著《論擲骰子遊戲中的計算》。這本書迄今為止被認為是概率論中最早的論著。因此可以說早期概率論的真正創立者是帕斯卡、費爾馬和惠更斯。這一時期被稱為組合概率時期，計算各種古典概率。
在他們之後，對概率論這一學科做出貢獻的是瑞士數學家族——貝努利家族的幾位成員。雅可布·貝努利在前人研究的基礎上，繼續分析賭博中的其他問題，給出了“賭徒輸光問題”的詳盡解法，并證明了被稱為“大數定律”的一個定理，這是研究等可能性事件的古典概率論中的極其重要的結果。大數定律證明的發現過程是極其困難的，他做了大量的實驗計算，首先猜想到這一事實，然後為了完善這一猜想的證明，雅可布花了20年的時光。雅可布将他的全部心血傾注到這一數學研究之中，從中他發展了不少新方法，取得了許多新成果，終于将此定理證實。
1713年，雅可布的著作《猜度術》出版。遺憾的是在他的大作問世之時，雅可布已謝世8年之久。雅可布的侄子尼古拉·貝努利也真正地參與了“賭博”。他提出了著名的“聖彼得堡問題”：甲乙兩人賭博，甲擲一枚硬币到擲出正面為一局。若甲擲一次出現正面，則乙付給甲一個盧布；若甲第一次擲得反面，第二次擲得正面，乙付給甲2個盧布；若甲前兩次擲得反面，第三次得到正面，乙付給甲22個盧布。一般地，若甲前n－1次擲得反面，第n次擲得正面，則乙需付給甲2n-1個盧布。問在賭博開始前甲應付給乙多少盧布才有權參加賭博而不緻虧損乙方？
尼古拉同時代的許多數學家研究了這個問題，并給出了一些不同的解法。但其結果是很奇特的，所付的款數竟為無限大。即不管甲事先拿出多少錢給乙，隻要賭博不斷地進行，乙肯定是要賠錢的。
走出賭博
随着18、19世紀科學的發展，人們注意到某些生物、物理和社會現象與機會遊戲相似，從而由機會遊戲起源的概率論被應用到這些領域中，同時也大大推動了概率論本身的發展。
法國數學家拉普拉斯将古典概率論向近代概率論進行推進，他首先明确給出了概率的古典定義，并在概率論中引入了更有力的數學分析工具，将概率論推向一個新的發展階段。他還證明了“煤莫弗——拉普拉斯定理”，把橡莫弗的結論推廣到一般場合，還建立了觀測誤差理論和最小二乘法。拉普拉斯于1812年出版了他的著作《分析的概率理論》，這是一部繼往開來的作品。這時候人們最想知道的就是概率論是否會有更大的應用價值？是否能有更大的發展成為嚴謹的學科
概率論在20世紀再度迅速地發展起來，則是由于科學技術發展的迫切需要而産生的。1906年，俄國數學家馬爾科夫提出了所謂“馬爾科夫鍊”的數學模型。1934年，前蘇聯數學家辛欽又提出一種在時間中均勻進行着的平穩過程理論。
如何把概率論建立在嚴格的邏輯基礎上，這是從概率誕生時起人們就關注的問題，這些年來，好多數學家進行過嘗試，終因條件不成熟，一直拖了三百年才得以解決。
20世紀初完成的勒貝格測度與積分理論及随後發展的抽象測度和積分理論，為概率公理體系的建立
奠定了基礎。在這種背景下柯爾莫哥洛夫1933年在他的《概率論基礎》一書中首次給出了概率的測度論式定義和一套嚴密的公理體系。他的公理化方法成為現代概率論的基礎，使概率論成為嚴謹的數學分支。
現在，概率論與以它作為基礎的數理統計學科一起，在自然科學，社會科學，工程技術，軍事科學及工農業生産等諸多領域中都起着不可或缺的作用。
直觀地說，衛星上天，導彈巡航，飛機制造，宇宙飛船遨遊太空等都有概率論的一份功勞；及時準确的天氣預報，海洋探險，考古研究等更離不開概率論與數理統計；電子技術發展，影視文化的進步，人口普查及教育等同概率論與數理統計也是密不可分的。
根據概率論中用投針試驗估計π值的思想産生的蒙特卡羅方法，是一種建立在概率論與數理統計基礎上的計算方法。借助于電子計算機這一工具，使這種方法在核物理、表面物理、電子學、生物學、高分子化學等學科的研究中起着重要的作用。
概率論作為理論嚴謹，應用廣泛的數學分支正日益受到人們的重視，并将随着科學技術的發展而得到發展。

數理統計的起源與發展

統計學的英文詞 statistics 源出于拉丁文，是由 status（狀态、國家）和statista（政治家）衍化而來的,可見起源很早并和國家事務的管理需求有關.這時期也出現了一些現在仍很常用的統計方法,如直方圖法.但最重要的、超出描述性統計範圍的成就是高斯和勒讓德關于最小二乘法的工作,導緻統計思想上的重大進展: 數據是來自服從一定概率分布的總體,而統計學就是用這些可觀察到的數據去推斷這個分布的未知屬性.這個觀點強調了推斷的地位,使統計學擺脫了單純描述的性質.

數理統計的發展階段大緻可分為古典、近代、現代這三個時期.
古典時期(19世紀以前).這是描述性的統計學形成和發展階段,是數理統計的萌芽時期.
在這一時期裡,瑞土數學家貝努裡(Bernoulli,1654-1795年)較早地系統論證了大數定律.
1763年,英國數學家貝葉斯(Thomas Bayes)提出了一種歸納推理的理論,後被發展為一種統計推斷方法---貝葉斯方法,開創了數理統計的先河.
法國數學家棣莫佛(de Moivre,1667-1754)于1733年首次發現了正态分布的密度函數,并計算出該曲線在各種不同區間内的概率,為整個大樣本理論奠定了基礎.
1809年,德國數學家高斯(Carl Friedrich Gauss,1777-1855)和法國數學家勒讓德(Adrien-Marie Legendre,1752-1833)各自獨立地發現了最小二乘法,并應用于觀測數據的誤差分析,在數理統計的理論與應用方面都作出了重要貢獻.他不僅将數理統計應用到生物學,而且還應用到教育學和心理學的研究,并且詳細地論證了數理統計應用的廣泛性.他曾預言:"統計方法,可應用于各種學科的各個部門."

近代時期(19世紀末至1845年).小樣本理論作為數理統計的主要分支開始建立,是數理統計的形成時期.上一世紀初,由于概率論的發展從理論上接近完備,加之工農業生産迫切需要,推動着這門學科的蓬勃發展.
1889年,英國數學家皮爾遜(Karl Pearson,1857-1936)提出了矩陣估計法,次年又提出了頻率曲線的理論,并于1900年在德國大地測量學者赫爾梅特（F.Helmert） 1876年研究正态總體的樣本方差時發現的一個十分重要的分布的基礎上提出了檢驗,這是數理統計發展史上出現的第一個小樣本分布.
1908年,英國的統計學家戈塞特(W.S.Gosset,1876-1937)創立了小樣本檢驗代替了大樣本檢驗的理論和方法(即t分布和t檢驗法),這為數理統計的另一分支---多元分析奠定了理論基礎.
1912年,英國統計學家費歇(R.A.Fisher,1890-1962)推廣了t檢驗法,同時發展了顯著性檢驗及估計、方差分析等數理統計新分支.
這樣,數理統計的一些重要分支如假設檢驗、回歸分析、方差分析、正交設計等都有了決定其基本面貌的内容和理論框架.數理統計成為應用廣泛、方法獨特的一門數學學科.

現代時期(1945年以後).美籍Roumania數理統計學家瓦爾德(A.Wald,1902-1950)緻力于用數學方法使統計學精确化、嚴密化,取得了很多重要成果.他發展了決策理論,提出了一般的判别問題,創立了序貫分析理論,提出了著名的序貫概率比檢驗法(比如,用于貴重産品的抽樣檢查與驗收).瓦爾德的兩本著作《序貫分析》和《統計決策函數論》,被認為是數理發展史上的經典之作.統計決策理論從人與大自然進行博弈的觀點出發,把形形色色的統計問題納入一個統一的模式之下,對戰後數理統計許多分支的發展産生了很大的影響,特别是參數估計這個分支.
随着概率論的高速發展,随機過程的統計逐步形成了内容豐富的重要分支.其中,線性濾波理論占據了顯著地位,它是40年代維納-柯爾莫哥洛夫濾波理論 (N.Wiener, A.H.Kolmogorov)和60年代卡爾曼濾波理論(Rudolf E. Kalman)向非線性領域的擴展.蘇聯學者李普澤爾（R.S.Liptser）和希拉也夫（A.N.Shiryaev）在1974年寫的專著《随機過程的統計》系統論述了這方面的理論.

統計學發展在趨于成熟并得到大量應用後,一些回避不了的弱點開始顯露并逐漸為人們所重視.傳統的統計方法不能充分利用過去經驗積累起來的知識,小樣本問題裡表現出來難以克服的局限性,這一點在可靠性統計問題中特别突出.二戰後數理統計的發展中,一個引人注目的現象是貝葉斯學派的崛起.他們用獨到的方法,加入了過去積累的經驗因素,在應用中常能得到意想不到的效果.雖然如此,貝葉斯方法仍存在很多困難,先驗分布的客觀性常引起非議.貝葉斯學派的觀點還難以被廣大統計工作者普遍接受,因此和傳統學派的争論仍将長期存在.目前情況,後者大體上仍處于支配地位.

随着計算機技術的進步和廣泛使用,統計學又産生了一些新的分支和邊緣性的新學科,如最優設計和非參數統計推斷等,不僅使得過去難于計算的問題能夠解決,而且有利地促使了那些能有效利用現代計算機強大計算能力的統計學新理論、新方法的紛紛問世,例如自助法（bootstarp）、投影尋蹤法（projection pursuit）、蒙特卡羅法（Monte Carlo Method)等.
統計的應用範圍愈來愈廣泛,已滲透到許多科學領域,應用到國民經濟各個部門,成為科學研究不可缺少的工具.