這是高考數學一道比較基礎的立體幾何真題,關于直線與平面垂直以及平面與平面垂直,和四棱錐的體積問題。立體幾何題最重要的是把定理公式記牢,并能靈活運用。如果連最基本的定理公式都記不清楚,那就完蛋了。老黃已經快30年沒有接觸到這些定理了,但是仍可以在解題過程中把它們恢複出來。不過語言表達上,和課本裡描述的可能大相徑庭,内容保證是完全正确的。如果不是把定理公式内化為自己的語言,又怎麼能一記就記30年,甚至是一輩子呢?我們先來看題吧。
如圖,四棱錐P-ABCD的底面是矩形,PD⊥底面ABCD,M為BC的中點,且PB⊥AM.
(1)證明:平面PAM⊥平面PBD;
(2)若PD=DC=1,求四棱錐P-ABCD的體積.
分析:(1)求證平面PAM垂直于平面PBD。我們隻需要找到其中一個平面内的一條直線,垂直于另一個平面就可以了。注意觀察。平面APM内的直線AM,極有可能滿足這個條件。因為已知PB垂直于AM,又可證PD垂直于AM,從而一條直線垂直于平面内的兩條相交線,直線就垂直于這個平面。這是一個逆向思維的過程,幾何證明題,逆向思維能力是非常重要的。
(2)若四棱錐的高PD和底面矩形的一邊DC都等于1,要求四棱錐的體積。顯然,我們隻要求得底面矩形的另一條邊的長度就可以了。為此,我們可以構造一組相似三角形,利用相似三角形的邊成比例的關系,來求矩形另一條邊的長。
下面組織解題過程:
(1)證明:∵PD⊥底面ABCD,AM⊂平面ABCD,∴PD⊥AM,
【依據的定理是:垂直于平面的直線垂直于平面内的任何直線。】
又PB⊥AM,∴AM⊥平面PBD,
【依據的定理是:一條直線同時垂直于平面内的兩條相交線,則這條直線垂直于這個平面。】
∵AM⊂平面PAM,∴平面PAM⊥平面PBD.
【依據的定理是:平面内一條直線垂直于另一個平面,則這兩個平面互相垂直。這道題一共應用了立體幾何關于直線與平面垂直,以及平面與平面垂直的三個重要定理】
(2)解:如圖記AM交BD于Q,由1)可知∠AQB=90⁰,【依據與上面第一個定理相同】
∴在Rt△ABQ中,∴∠1+∠2=90⁰,
又在Rt△ABD中,∠3+∠2=90⁰,∴∠1=∠3,【同角等餘】
∴Rt△AMB∽Rt△DBA,【有一組銳角相等的兩個直角三角形相似】
設AD=BC=x,∵M為BC的中點,∴BM=x/2,
又BM/AB=AB/DA,即x/2=1/x, ∴x=根号2.【已經舍去了負根】
∴V四棱錐p-ABCD=AD·CD·PD/3=根号2 /3.【四棱錐的體積公式V=Sh/3】
可以看到,第二小題運用的全是初中的知識,而第一小題運用的定理都非常基礎,所以這是一道相當基礎的立體幾何題,對你來說,應該隻是小菜一碟吧。不論如何,仍有一些同學會覺得完成起來比較困難。老黃講得這麼哆嗦,這麼詳細,主要就是為這些有困難的同學服務的。
有話要說...