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菱形背景下的一題多變和一題多解

原題背景:滬教版八年級第二學期第22找那個第三節“特殊的平行四邊形”例題

解法分析:本題的解法是聯結AC,通過證明△ACE≌△ADF或證明△ABE≌△ACF,從而證明AE=AF。主要有如下圖①和②的兩種輔助線的方法。

變式1:将條件一般化(改為∠B=∠EAF)

解法分析:由于去除了∠B=60°這一特殊條件,因此聯結AC後不能構成兩個共頂點的等邊三角形,可以采取圖③(利用等高構造全等的直角三角形)以及圖④(截長補短法構造等腰三角形),具體的解法以及通法可以點擊以下鍊接:

變式2:将條件和結論互換(已知AE=AF,求證∠EAF=60°)

解法分析:由于條件和結論互換後,聯結AC或出現“S.S.A”的情況,無法證明三角形全等。仍舊可以沿用圖③和圖④輔助線的添線方法進行證明。

變式3 : 将條件一般化 (将點E、F的位置由原來在線段上變為在射線上)

解法分析: 由于條件一般化後需要根據題意分類讨論。即點在線段或其延長線上。本題的第1問E在線段的延長線上,需根據題意畫出新的圖形,再按照例題的方法,即聯結AC,反向全等三角形證明即可;本題的第2問涉及函數關系的建立,求△ADF的面積,隻需要過點A作高即可,利用30°-60°-90°三角形的性質,即可求高,最終用含x的代數式表示三角形的面積;本題的第3問是存在性問題,由于AB//DF,因此分别以AB和DF為對邊作平行四邊形,即F在CD延長線上這種情況。

變式4 : 将條件變化“位置” (将點E、F的位置由原來在BC、CD上變為在直線BC、CD上,改變為∠AEF=60°)

解法分析: 由于條件變為∠AEF=60°,此時不滿足共頂點等邊三角形的特征,因此需要采取新的輔助線的添加方式。本題第1問是點在線段上的情況,由于還是證明AE=AF,而很難構造以AE和AF為邊的全等三角形,因此,嘗試構造以AE、EF為邊的全等三角形,利用“截長補短法”,構造全等三角形;本題的第2問雖然改變了點的位置,但是輔助線的添線方式和證明方式還是一緻的。

變式5 : 将條件特殊化&題設結論互換 (點E和點F分别是BC和CD的中點&已知等邊三角形,反求∠B度數)

解法分析: 本題的第1問是常規的證明全等三角形得相等線段的問題。

本題的第2問已知△BEF為等邊三角形,求∠ABC的度數。通過聯結AC無法解決問題,因此 根據中點性質,聯想與中點性質相關的輔助線的添線方法 。 解法1:利用中位線和等腰梯形性質

解法2:利用中位線、平行四邊形性質及勾股定理

解法3:倍長中線證明全等三角形,利用第三邊上的中線等于第三邊長的一半證明直角

解法4:利用梯形中位線性質定理

通過一道例題可以得到5種變式,變式的特點在于“ 題設和結論互換 ”、“ 點在線段或延長上 ”、“ 結論或結論一般化或特殊化 ”。對于“點在線段或其延長線”上的情況,可以沿用一緻的添線方法和證明方法,而另外兩種情況則需要具體情況具體分析,根據條件和題設間的聯系,合理進行輔助線的添加。

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