高考數學秘笈1——四步解題法之總論
高考數學秘笈1 ——四步解題法之總論
高考數學秘笈2 ——四步解題法之整體框架
高考數學秘笈3 ——四步解題法之實例示範1
高考數學秘笈4 ——四步解題法之實例示範2
高考數學秘笈5 ——四步解題法之實例示範3
高考數學秘笈6 ——四步解題法之明确目标1
……
高考數學秘笈1 ——四步解題法之總論
在數學學習中，你是否經常出現這樣的現象：明明所學的概念、公式、定理都背熟了，例題也看懂了，但為什麼還是不會做習題？
這是因為，數學中真正标準的、可以程序化的，像解一元二次方程那樣的問題是很少的。解題中，要想把問題中的條件與結論溝通起來，光有雄厚的知識、靈活的方法和成功的解題經驗還遠遠不夠。
在一般情況下，問題與知識的聯系并非是顯然的，即使有時能在問題中看到某些知識的“影子”，但畢竟不是知識的原形，或是披上了“外衣”，或是減少了條件，或是改變了結構，從而沒有現成的知識、方法可用。
為了判斷利用什麼知識，選用什麼方法，就必須對問題進行解剖、識别，對各種信息進行篩選、加工和組裝，以創造利用知識、方法和經驗的條件。這種複雜的、創造性的分析過程就是數學思維方法作用的過程。因此，正确的思維方法是影響解題成敗的最重要的因素。
但是，在數學解題教學中，教師和學生都往往隻注重基本知識和具體方法，忽視數學觀念的培養和數學思維能力的訓練，造成解題困難。為了克服這一困難，各種各樣的、非本質的、龐雜零亂的具體解題技巧統統被視為規律，成為教師諄諄告誡的教學重點。學生也就試圖通過記憶、模仿來補償思維能力的不足，利用胡猜亂碰代替有根據、有目的的探索，這不僅不能提高學生的解題能力，而且對于系統數學知識的學習，對于數學思維結構的健康發展都是不利的。
在解決具體問題時，學生因沒有正确的思維方法造成解題失敗的現象時有發生。我們舉一個例子。
例、設α、β∈（0，π），且cosα+cosβ-cos（α+β）=3/2，求α、β之值。
【誤解】應用和差化積公式和倍角公式，得
2cos[（α+β）/2]-cos[（α-β）/2]-2
[（α+β）/2]+1=3/2。提取公因式，得
cos[（α+β）/2]{ cos[（α-β）/2]- cos[（α+β）/2]}=1/4。
繼續利用和差化積公式，得
cos[（α+β）/2]sin（α/2）sin（β/2）=1/8。
這樣，無法求得α、β之值。
【誤解2】應用和角公式，得
cosα+cosβ-cosαcosβ+sinαsinβ=3/2。
把方程變形，得
sinαsinβ-（1-cosα）（1-cosβ）=1/2。
利用倍角公式，得
4sin（α/2）sin（β/2）cos（α/2）cos（β/2）-4
（α/2）（β/2）=1/2。提取公因式，得
sin（α/2）sin（β/2）[cos（α/2）cos（β/2）-sin（α/2）sin（β/2）]=1/8。
又得到 cos[（α+β）/2]sin（α/2）sin（β/2）=1/8。
同樣無法求出α、β之值。
縱觀上述解題過程，可以看到，造成解題受阻的原因不是解題者知識的缺乏，而在于解題者未能正确把握變形方向，未能在解題之前先進行一番直覺考慮和科學預測。而是盲目變形：見了“和差”就化“積”，見了“和角”就化“單角”，根本不去考慮這些變形的目的與意義，使解題思維陷入混亂，導緻解題失敗。
實際上，本題的實質是解三角方程。但題中隻有一個方程，卻合有兩個未知數，在一般情況下是無法确定未知數的值的，隻有在一種極端的情況下（如非負數的和為零，二次方程根的判别式大于或等于零，基本不等式中等号成立等）方可獲解，這就啟發我們在原方程中去發掘這種極端情況。
正确的解法為：将原方程整理成關于cos[（α+β）/2]的一元二次方程
2 cos[（α+β）/2] cos[（α-β）/2]-2
[（α+β）/2]-1/2=0 ……①若要構造非負數的和為零，則會想到配方法。于是，①可化為
2 {cos[（α+β）/2] -（1/2）cos[（α-β）/2]}
+（1/2） sin[（α-β）/2] =0。至此，不難求得a=β=π/3。
若想利用二次方程根的判别式解題，則因方程①有實根，得
Δ=4 cos
[（α+β）/2]-4≥0，于是cos[（α+β）/2]≥1。但cos
[（α+β）/2]≤l，所以cos[（α+β）/2]=1 ，可求得a=β=π/3。本例充分說明了解題中以正确的數學思維方法作指導的重要性。應當說，學生對上述解法中涉及的基本知識（三角恒等變形）和基本方法（配方法、判别式法）是熟悉的，關健是他們想不到用這些知識和方法去解題，這就充分體現了學生對數學思維方法的缺乏與需求。
數學思維方法過于廣泛，也很抽象。那麼，中學數學中是否有一種有規律可循的思維方法？答案是肯定的。在我們多年的教學實踐中，總結出一種行之有效的解題思維方法——四步解題法，相應著作已在科學普及出版社出版。這裡，我們将陸續向大家系統介紹這一方法。
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